Число фибоначчи кролики

Задача о кроликах или числа Фибоначчи

В 1202 году итальянский купец Леонардо из Пизы (1180—1240), более известный под прозвищем Фибоначчи, один из самых значительных математиков средневековья, сформулировал такую задачу:

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

Рост численности кроликов можно проследить на схеме, выполненной в виде Flash-анимации:

Решая задачу Фибоначчи, мы получаем ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, где каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Эта последовательность, получившая название ряда Фибоначчи, обладает удивительными свойствами.

Во-первых, отношение двух соседних чисел приближенно равно числу «фи», и чем дальше пара чисел находится от начала последовательности, тем точнее это приближение.

Во-вторых, с парами чисел Фибоначчи связаны, как ни странно, форма цветков, расположение листьев на стебле растений и зерен в подсолнухе. Об этом написано в разделе Золотое сечение в природе.

Эта задача придумана итальянским ученым Фибоначчи, жившим в 13-м веке.
Некто приобрел пару кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон загон. Сколько кроликов будет через год, если считать, что каждый месяц пара дает в качестве приплода новую пару кроликов, которые со второго месяца жизни также начинают приносить приплод?

Ответ: 377 пар. В первый месяц кроликов окажется уже 2 пары: 1 первоначальная пара, давшая приплод, и 1 родившаяся пара. Во второй месяц кроликов будет 3 пары: 1 первоначальная, снова давшая приплод, 1 растущая и 1 родившаяся. В третьем месяце — 5 пар: 2 пары, давшие приплод, 1 растущая и 2 родившиеся. В четвертом месяце — 8 пар: 3 пары, давшие приплод, 2 растущие пары, 3 родившишиеся пары. Продолжая рассмотрение по месяцам, можно установить связь между количествами кроликов в текущий месяц и в два предыдущих. Если обозначить количество пар через N, а через m — порядковый номер месяца, то Nm = Nm-1 + Nm-2 . С помощью этого выражения рассчитывают количество кроликов по месяцам года: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377.

Комментарии

Оставлен Слава Вс, 08/08/2010 — 12:27

ну если брать более жизненно)то кролики не всегда парами родятся!)и не всегда парами МЖ. ну это есчли рассматривать более биологически а не по условию задачи

Оставлен EvilDead Пнд, 05/30/2011 — 19:12

Ага, и гаранта нет, что эти кролики, хотя б от того же изнеможения (столько новых поколений выплодить), к концу года не здохнут

Оставлен Гость Втр, 11/08/2011 — 19:45

Приобрели Пару кроликов а не кролика и крольчиху.. делайте выводы ))))

Оставлен кролег Пт, 11/25/2011 — 09:02

в итоге через год остался один самэц, который задолбил насмерть второго 😀

Оставлен Гость Чт, 08/26/2010 — 21:51

2 ПАРЫ, Т.К. одна пара родителей и одна пара детей, если только кроликам непофигу на кровосмешение.

Оставлен Гость Чт, 08/18/2011 — 15:32

кроликам пофигу) это только у людей кровосмешение может быть. у животных всё по-другому.
согласна, условие некорректно.

Задача о размножении кроликов

Одним из наиболее известных математиков эпохи Средневековья по праву считается Леонардо Пизано Фибоначчи. Позже мы расскажем о Фибоначчи и его роли в развитии западноевропейской математики более подробно. По иронии судьбы Фибоначчи, который внес выдающийся вклад в развитие математики, стал известным в современной математике только лишь как автор интересной числовой последовательности, называемой числами Фибоначчи. Эта числовая последовательность была получена Фибоначчи при решении знаменитой «задачи о размножении кроликов». Формулировка и решение этой задачи считается основным вкладом Фибоначчи в развитие комбинаторики. Именно с помощью этой задачи Фибоначчи предвосхитил метод рекуррентных соотношений, который считается одним из мощных методов решения комбинаторных задач. Рекуррентная формула, полученная Фибоначчи при решении этой задачи, считается первой в истории математики рекуррентной формулой.

Существо своей «задачи о размножении кроликов» Фибоначчи сформулировал предельно просто:

«Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?»

Для решения этой задачи, которая наглядно демонстрируется с помощью рисунка, обозначим через A пару зрелых кроликов, а через B — пару новорожденных кроликов. Тогда процесс «размножения» может быть описан с помощью двух «переходов», которые описывают ежемесячные превращения кроликов в процессе размножения:

(1)
(2)

Заметим, что переход (1) моделирует ежемесячное превращение каждой зрелой пары кроликов А в две пары, а именно в ту же самую пару зрелых кроликов А и новорожденную пару кроликов В. Переход (2) моделирует процесс «созревания» кроликов, когда новорожденная пара кроликов В через месяц превращается в зрелую пару А. Тогда, если мы начнем в первом месяце со зрелой пары А, тогда процесс размножения кроликов может быть представлен с помощью Таблицы 1.

Дата Пары кроликов A B A + B
1-го января A 1 1
1-го февраля AB 1 1 2
1-го марта ABA 2 1 3
1-го апреля ABAAB 3 2 5
1-го мая ABAABABA 5 3 8
1-го июня ABAABABAABAAB 8 5 13

Заметим, что в столбцах А и В таблицы 1 указаны количества зрелых и новорожденных пар кроликов в каждом месяце года, а в таблице А+В — суммарное количество кроликов.

Изучая последовательности А-, В- и (А+В)-чисел, можно установить следующую закономерность в этих числовых последовательностях: каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих. Если теперь обозначить n-й член последовательности, удовлетворяющей этому правилу через Fn, тогда указанное выше общее правило может быть записано в виде следующей математической формулы:

Fn = Fn-1 + Fn-2. (3)

Такая формула называется рекуррентной формулой.

Заметим, что конкретные значения числовой последовательности, порождаемой рекуррентной формулой (3), зависят от начальных значений последовательности F1 и F2. Например, мы имеем F1 = F2 = 1 дляA-чисел и для этого случая рекуррентная формула (3) «генерирует» следующую числовую последовательность:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, . . (4)

Для В-чисел мы имеем: F1 = 0 и F2 = 1; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . .

Наконец, для (А + В)-последовательности мы имеем: F1 = 1 и F2 = 2; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . .

В математике под числами Фибоначчи, как правило, понимается числовая последовательность (4). Числа Фибоначчи обладают удивительными математическими свойствами, но об этом — на следующей странице нашего Музея.

О кроликах

Думается, что самое время поговорить о кроликах. Почему именно это животное вошло в историю математики? Как известно, кролик – это млекопитающее отряда грызунов семейства зайцев. Первоначальной родиной дикого кролика в основном считались страны южной части Западной Европы (Испания, Франция, Италия), откуда кролик был привезен человеком во все страны к северу от Альпийских гор. Современная область распространения дикого кролика – вся южная и средняя части Западной Европы, но особенно многочислен он в странах, прилегающих к Средиземному морю, а также в Африке, Азии, Австралии, Новой Зеландии, Америке.

Особенностью кроликов является их удивительная плодовитость. Крольчиха в 3-4 месяца от роду достигает половой зрелости, причем она способна размножаться круглый год. Беременность оплодотворенных крольчих длится от 28 до 32 суток (то есть в среднем 30 суток); это означает, что, рассматривая процесс размножения кроликов, Фибоначчи исходил из реальных фактов (беременность крольчихи в среднем длится 1 месяц). Но число крольчат, которые могут быть получены от одной крольчихи в результате одного окрола, составляет 8-10 (а иногда и больше), то есть на самом деле кролики размножаются еще более интенсивно, чем предположил Фибоначчи в своей задаче.

Именно этой исключительной плодовитостью кроликов объясняется тот факт, что во многих странах «нашествие кроликов» рассматриваются как национальная трагедия. Примером является Австралия. Началось все с того, что в 1837 г. один австралийский фермер создал кролеферму из 24 кроликов, которые, расплодившись и вырвавшись на свободу, уничтожили мало не всю зелень континента. И только благодаря решительным мерам австралийского правительства в борьбе с «длинноухой саранчой» удалось сократить численность прожорливой твари. В Австралии кроликам объявлена настоящая война, которая уже длится более 150 лет. Через весь материк на многие сотни километров австралийцы построили «великую китайскую стену» — барьер, непреодолимый для кроликов; за каждого убитого кролика выплачивается вознаграждение, против кроликов применяются химические и биологические средства. Война продолжается с переменным успехом. Австралийские дикие кролики научились лазить по деревьям, стали ужасно агрессивными, устраивают уничтожающие набеги на поля и огороды фермеров.

Читайте так же:  Шлейка кролика

Кроме того, плодовитое кроличье племя, некогда своеобразно повлиявшее на выдающегося математика Италии, в настоящее время взяло в осадное положение итальянский остров Устика (севернее Сицилии). На 1000 жителей этого крохотного островка приходится 100 000 кроликов. В отличие от жителей Австралии коренное население Устики сдается без боя: уже пятая часть жителей эмигрировала с острова.

Но не следует забывать и о другой стороне «кроличьей проблемы: кроличье мясо считается одним из наиболее вкусных и полезных. И одним из крупнейших производителей кроличьего мяса является Италия, родина Фибоначчи. В этой связи итальянским (да и не только итальянским) историкам математики необходимо много поработать, чтобы установить, что же послужило Фибоначчи первопричиной формулировки «задачи о размножении кроликов»: пристрастность к крольчатине или любовь к высшей математике.

Самый значительный математик европейского средневековья – Леонардо Пизанский (Фибоначчи) – в «Книге абака» сформулировал следующую задачу:
«Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения».
Если первая пара кроликов – новорожденные, то на второй месяц имеем по-прежнему 1 пару, на третий месяц – уже 2 (кролики начали размножаться), на четвертый – 3 (потомство пока дает лишь первая пара), на пятый – 5 (начала размножаться пара, родившаяся на третьем месяце), на шестой – 8 (потомство дают те пары, которые имелись на четвертом месяце) и т. д. Каждый раз число кроликов, имеющихся на -ом месяце, равно числу кроликов на ()-ом месяце плюс число только что родившихся, которое, в свою очередь, равно числу кроликов на ()-ом месяце. Если обозначить число кроликов на -ом месяце , то . При этом . Исходя из этих двух значений, можно вычислить

Последовательность, разумеется, можно продолжать по тому же закону до бесконечности. Французский математик XIX в. Эдуар Люка назвал ее последовательностью чисел Фибоначчи. С помощью свойств чисел Фибоначчи он доказал, что число Мерсенна является простым.

Числа Фибоначчи обладают целым рядом замечательных свойств, например:

Попробуйте их доказать, используя, что .

Сложив левые и правые части, получим

а т. к. равно 1, получается, что
Чтобы доказать второе равенство, запишем

Сложив левые и правые части, получим

Чтобы вычислить сумму четных чисел, надо из равенства

вычесть равенство

При этом получается

Есть замечательное свойство делимости чисел Фибоначчи, а именно: делится на тогда и только тогда, когда делится на . Можете проверить это свойство для различных и .

Возникает вопрос: а нельзя ли с помощью какой-нибудь формулы выразить -ое число Фибоначчи выразить через без ссылок на предыдущие числа? Нельзя ли, скажем, каким-то образом свести числа Фибоначчи к геометрической прогрессии? Для ответа на этот вопрос рассмотрим, нет ли такого числа , что . Сократив на , получаем Решив это уравнение, получим:

Нетрудно заметить, что – не что иное, как большое число Фидия ?, выражающее золотое сечение. Об этом, впрочем, нетрудно было догадаться: золотое сечение – такое отношение двух отрезков, что больший отрезок относится к меньшему, как сумма обоих отрезков к большему: Если то откуда В то же время ? – малое число Фидия).
Далее рассмотрим последовательность

Поскольку вычтя одно равенство из другого, получим

а поделив обе части на , найдем

откуда Кроме того,

Таким образом, последовательность обладает тем свойством, что
Эта последовательность совпадает с последовательностью чисел Фибоначчи , и нами найдена формула для -го числа Фибоначчи:

(она называется формулой Бине по имени открывшего ее французского математика XIX в. Ж. Ф. М. Бине).

Рассмотрим формулу Бине. Поскольку последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Следовательно, с ростом число все слабее отличается от . Таким образом, отношение двух последовательных чисел Фибоначчи с ростом делается все ближе и ближе к «золотому сечению».

Вот одна из самых простых задач, в которой встречаются числа Фибоначчи: сколькими способами можно спуститься по лестнице из ступенек, если каждый раз можно наступать на следующую ступеньку или перепрыгивать через одну?

Пусть искомое число способов равно . Преодолеть лестницу из одной ступеньки можно единственным способом , а из двух – двумя: прыжком через ступеньку или двумя шагами по последовательным ступенькам . Если то первым шагом можно ступить на следующую ступеньку, и тогда останется пройти ступенек, а сделать это можно способами. Кроме того, можно сразу перепрыгнуть через ступеньку, и тогда останется преодолеть ступенек, а это сделать можно способами. Таким образом, общее число способов . Таким образом, равно -му числу Фибоначчи .

Последовательность Фибоначчи неожиданно появляется в самых разных математических задачах, на первый взгляд, с этими числами никак не связанных, в частности, в задачах теории игр, оптимизации и т. д. Последовательность Фибоначчи встречается и в живой природе – например, в филлотаксисе (листорасположении). Листья или почки на ветвях многих растений располагаются по спирали, причем на определенное число оборотов спирали приходится определенное число листьев . Ряды листьев, идущие вдоль побега, – так называемые ортостихи, – образуют друг с другом угол .

Растение Угол
Пшеница, липа, вяз, бук 1 2 180°
Орешник, виноград, тюльпан, осока 1 3 120°
Дуб, вишня 2 5 144°
Малина, тополь, барбарис 3 8 135°
Миндаль, облепиха 5 13 138° 28?

Нетрудно видеть, что и – два числа Фибоначчи, стоящие «через одно»: и . При возрастании отношение этих чисел становится все ближе к числу

а угол – к т. н. идеальному углу, приблизительно равному 137° 30? 28??.

Зачатки листьев на поперечном разрезе почки, а также чешуйки на шишке, цветки в соцветиях-корзинках располагаются иначе: на пересечении двух семейств спиралей, называемых парастихами. Парастихи одного семейства закручиваются к центру против хода часовой стрелки, спирали другого семейства – по ходу; при этом числа тех и других спиралей равны двум последовательным числам Фибоначчи: для сосновой шишки это обычно 8 и 13, либо 13 и 21, для корзинки подсолнечника – 34 и 55, либо 55 и 89.

Задача о кроликах.

Пусть имеется пара кроликов. Известно, что от каждой пары кроликов каждый месяц рождается новая пара кроликов, которая в свою очередь становится способной производить потомство в возрасте одного месяца. Требуется определить, сколько пар кроликов будет через n месяцев.

Вначале изложим историю этой задачи, затем её решение и другие задачи связанные с ней.

Говоря об античной математике, каждый назовет таких математиков, как Евклид, Пифагор, Герон и др. Одним из самых знаменитых математиков средних веков, наравне с Виетом был Леонардо из Пизы, известный под именем Фибоначчи (сокращенное filius Bonacci, т.е. сын Боначчи).

Фибоначчи родился в Италии в 1175г., был воспитан на Севере Африки, где его отец занимал пост дипломата. Вернувшись в Италию, в 1202г. публикует математический трактат под названием «Liber abacci». Этот трактат, содержавший почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, сыграл главную роль в течении последующих столетий в развитии математики в Европе. В частности, на основе этого трактата, европейцы познакомились с арабскими цифрами, т.е. с позиционной системой исчисления. Также Фибоначчи публикует: в 1220г. «Practica geometrica», в 1225, «Liber quadratorum». Трактат «Liber abacci» был переиздан в 1228г. Одна из задач упоминаемая в «Liber abacci» называется «задача о кроликах» (с.123-124 издания 1228г.), представленная в начале этого материала.

Перейдем к решению этой задачи.

Пусть fn число пар кроликов после n месяцев. Число пар кроликов после n + 1 месяцев fn+1, будет равно числу пар на n-ом месяце, т.е. fn, плюс число пар новорожденных кроликов. Поскольку кролики рождаются от пары кроликов возраста больше одного месяца, новорожденных кроликов будет fn-1 пар. Следовательно, справедливо соотношение

fn+1 = fn + fn-1, (1)

причем

f = 0 f1 = 1. (2)

Таким образом получим рекуррентную числовую последовательность

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, . (3)

которая была названа рядом Фибоначчи. Каждый член этой последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Первые два члена считаются заданными f = 0, f1 = 1.

Таким образом, «задача о кроликах» свелась к решению функционального уравнения (1), т.е. к нахождению общего члена последовательности fn удовлетворяющего соотношению (1) при условиях (2).

Предположим, что последовательность fn имеет вид

fn = l n , (4)

где l — вещественный параметр.

Подставив fn в (1) получим l n+1 = l n + l n-1 , или, эквивалентно, l n-1 ( l 2 — l — 1) = 0. Так как fn № 0 ( » n О N * ), последнее равенство принимает вид

l 2 — l — 1 = 0, (5)

которое представляет собой квадратное уравнение по отношению к действительному параметру l . Из (5 ) получим Таким образом, последовательности удовлетворяют равенству (1). Отсюда заключаем, что уравнение (1) имеет много решений. В общем, существует бесконечное число последовательностей, удовлетворяющих (1). Легко заметить, что последовательность вида

(6)

где c1, c2 — фиксированные действительные константы, также удовлетворяет (1). Более того, можно показать, что любая последовательность, удовлетворяющая равенству (1) имеет вид (6). Имея другие цели, не будем доказывать этот факт в рамках этой работы. Для интересующихся общей теорией решения уравнений вида (1), называемых уравнениями в конечных разностях, рекомендуем обратиться к литературе [1]-[4].

Возвращаясь к последовательности Фибоначчи, отметим, что эта последовательность однозначно определена, и однозначность обеспечивается первыми двумя членами, т.е. начальными условиями (2). Подставляя n = 0 и n = 1 в (6), получим линейную систему с решением

В результате получим, что n-ый член последовательности Фибоначчи имеет вид

(7)

Свойства последовательности Фибоначчи.

1 ° . f1 + f2 + . + fn = fn+2 — 1. (8)

Доказательство.

f1 = f3f2
f2 = f4f3
.
fn-1 = fn+1fn
fn = fn+2fn+1.

Свойства 2 ° — 3 ° доказываются аналогично 1 ° .

4 ° . f1 2 + f2 2 + . + fn 2 = fn·fn+1. (9)

Из этого соотношения получаем равенства

f1 2 = f1·f2,
f2 2 = f2·f3f1·f2,
f3 2 = f3·f4f2·f3,
.
fn 2 = fn·fn+1fn-1·fn.

Складывая эти равенства почленно получаем (9).

5 ° . Показать, что fn+m = fn-1·fm + fn·fm+1, (10)

где fn обозначает n-ый член последовательности Фибоначчи.

Доказательство. Зная общий вид члена fn (см. (9)) можно подставив его в показать, что имеет место (10) равенство. Докажем (10) используя метод математической индукции. Проведем индукцию по m О N.

Таким образом, пусть основание индукции проверено (m = 1; m = 2). Пусть (10) верно для m = k и m = k + 1. Докажем, что тогда (10) верно и для m = k + 2.

Таким образом, пусть верны равенства

fn+k = fn-1fk + fnfk+1,
fn+k+1 = fn-1fk+1 + fnfk+2.

Суммируя почленно последниие равенства, получим равенство fn+k+2 = fn-1·fk+2 + fn·fk+3, которое представляет (10) при m = k + 2.

Доказательство следует из (10) при m = n.

Доказательство. Из 6 ° следует f2n = fn(fn-1 + fn+1), откуда следует, что f2n fn.

8 ° .

9 ° .

Свойства 8 ° — 9 ° , являющиеся прямыми следствиями 6 ° , предлагается доказать самостоятельно.

10 ° . fn 2 = fn-1fn+1 + (-1) n+1 (11)

Доказательство. Будем доказывать равенство (11) индукцией по n. При n = 2 равенство (11) преобразуется в справедливое равенство f2 2 = f1·f3 — 1,

Доказательство. Пусть n m, т.е. n = mk. Докажем свойство 11 ° индукцией по k. При k = 1, n = m, следовательно fn делится на fm. Предположим, что fmk делится на fm. Рассмотрим fm(k+1). Из равенства fm(k+1) = fmk+m на основании соотношения (10) получим fm(k+1) 2 = fmk-1fm + fmk·fm+1. Первый член суммы из правой части равенства, очевидно, делится на fm. Второй член делится на fm согласно индукционному предположению. Следовательно сумма этих членов делится на fm, и значит, fm(k+1) fm. Свойство 11 ° доказано.

Для ознакомления с другими свойствами чисел Фибоначчи, связанными с делимостью, геометрией, теорией алгоритмов и т.д., читатель может обратиться к библиографии, указанной в конце этой работы.

Задачи для самостоятельного решения

  • Доказать, что для любого m О N, среди первых m 2 — 1 чисел Фибоначчи существует число, делящееся на m.
  • Доказать, что:

  • Число Фибоначчи fn четно тогда и только тогда, когда n делится на 3;
  • Число Фибоначчи fn делится на 3 тогда и только тогда, когда n делится на 4;
  • fn4 тогда и только тогда, когда n6;
  • fn5 тогда и только тогда, когда n5;
  • fn7 тогда и только тогда, когда n8;
  • fn16 тогда и только тогда, когда n12.

  • Каждый мало-мальски эрудированный человек хотя бы раз слышал о числах Фибоначчи. Разберемся, что же это такое, откуда взялось, какими свойствами обладает и, что самое главное, куда можно применить.

    Итак, в 1202 году, некий Леонардо из Пизы (не путать с ДаВинчи), более известный как Фибоначчи, в своей книге «Liber Abacci» изложил следующую задачу:

    Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон. Сколько пар кроликов за год может произвести эта пара кроликов, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит еще одну пару?

    Составим план действия кроликов:

    • В начале первого месяца есть только одна новорожденная пара (1).
    • В конце первого месяца по-прежнему только одна пара кроликов, но уже спарившаяся (1)
    • В конце второго месяца первая пара рождает новую пару и опять спаривается (2)
    • В конце третьего месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара только спаривается (3)
    • В конце четвёртого месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара рождает новую пару и спаривается, третья пара только спаривается (5)
    • И так далее.

    В итоге получим ряд чисел:

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и так далее.

    С виду ничем не примечательный ряд чисел. Однако, это только с виду. Данный ряд, носящий имя ряд Фибоначчи имеет ряд удивительных свойств и его можно найти в самых неожиданных местах.

    Например, ветви дерева. Видно, что число ветвей очень точно описывается при помощи чисел Фибоначчи.

    А это так называемая Золотая спираль, вернее, аппроксимация Золотой спирали при помощи четвертей окружностей радиусом, равным числам Фибоначчи (спираль Архимеда или спираль Фибоначчи). Абстрактная математическая штуковина, подумаете Вы, и будете не правы

    Это моллюск Наутилус, и его раковина что-то мне напоминает.

    А это циклон, и он тоже довольно неплохо описывается числами Фибоначчи

    Опять вернемся к живой природе. Алоэ многолистный. Тут сразу несколько спиралей.

    Рукава далеких галактик.

    Числа Фибоначчи везде..

    Однако, не менее интересны свойства чисел Фибоначчи

    Если в каждой последовательной паре чисел Фибоначчи разделить большее число на меньшее — то чем дальше в последовательности мы возьмем пару чисел — тем их отношение будет ближе к 1,618. Число, надо сказать, очень интересное. 1,618 — ничто иное, как Золотое сечение.

    Отношения первых членов последовательности Фибоначчи далеки от Золотого Сечения. Но чем дальше мы продвигаемся по ней, тем больше эти отклонения сглаживаются. Для определения любого ряда достаточно знать три его члена, идущие друг за другом. Но только не для золотой последовательности, ей достаточно двух, она является геометрической и арифметической прогрессией одновременно. Можно подумать, будто она основа для всех остальных последовательностей.

    Есть предположение, что ряд Фибоначчи — это попытка природы адаптироваться к более фундаментальной и совершенной золотосечённой логарифмической последовательности, которая практически такая же, только начинается из ниоткуда и уходит в никуда. Природе же обязательно нужно какое-то целое начало, от которого можно оттолкнуться, она не может создать что-то из ничего. Отношения первых членов последовательности Фибоначчи далеки от Золотого Сечения. Но чем дальше мы продвигаемся по ней, тем больше эти отклонения сглаживаются. Для определения любого ряда достаточно знать три его члена, идущие друг за другом. Но только не для золотой последовательности, ей достаточно двух, она является геометрической и арифметической прогрессией одновременно. Можно подумать, будто она основа для всех остальных последовательностей.

    Каждый член золотой логарифмической последовательности является степенью Золотой Пропорции (z). Часть ряда выглядит примерно так: . z^-5; z^-4; z^-3; z^-2; z^-1; z^0; z^1; z^2; z^3; z^4; z^5 . Если мы округлим значение Золотой пропорции до трёх знаков, то получим z=1,618, тогда ряд выглядит так: . 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 . Каждый следующий член может быть получен не только умножением предыдущего на 1,618, но и сложением двух предыдущих. Таким образом экспоненциальный рост обеспечивается путем простого сложения двух соседних элементов. Это ряд без начала и конца, и именно на него пытается быть похожей последовательность Фибоначчи. Имея вполне определённое начало, она стремится к идеалу, никогда его не достигая. Такова жизнь.

    Здесь показаны пропорции человека. Знакомые числа, не так ли?

    А это пирамиды в Гизе. Длина ребра основания пирамиды в Гизе равна 783,3 фута (238,7 м), высота пирамиды 484,4 фута (147.6 м). Длина ребра основания, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф=1,618. Высота 484,4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) – это числа из последовательности Фибоначчи. Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618. Некоторые современные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью – передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений. Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1,618 играет центральную роль.

    Про пирамиды в Гизе (как и про пирамиды в Мексике), вернее, об их геометрии, можно говорить часами. Если интересно — гугл Вам в помощь.

    В заглавии статьи я написал про криптотрейдинг. При чем тут он, спросите Вы. А вот при чем. Когда цена какой-либо криптовалюты (или нефти, или еще чего-угодно) движется в определенном направлении, можно точно определить начало и конец данного движения. С помощью инструмента Фибоначчи вы измеряете расстояние между этими точками, инструмент Фибоначчи автоматически выставляет так называемые уровень коррекции Фибоначчи и уровень расширения Фибоначчи. Расчет уровней Фибоначчи производится на основе чисел Фибоначчи, а точнее, процентной разницы между ними.

    Наиболее важными уровнями в трейдинге являются 23,6% 38,2% 50% 61,8% 78,6%

    Продемонстрируем это на примере цены биткоина к доллару за последние пол года

    Видим, что цена так или иначе задерживается на каждом из уровней Фибоначчи. Так, например в январе 2017 года (первый пик на графике) цена «отскочила» от уровня 0,786 и двинулась вниз, затем стабильно росла до марта. В марте-апреле цена колебалась рядом с уровнем 0,786, пока в середине апреля, наконец, не оттолкнулась от уровня 0,786 и росла до середины мая, при этом без малейших колебаний пробила уровень 0,618 и остановилась на уровне 0,5. Затем снова рост до уровня 0,236 и откат до уровня 0,382, затем снова рост до уровня 0 и откат до уровня 0,236.

    Как видим, все работает. Теперь, с большой долей вероятности Вы можете определить, на каком уровне произойдет коррекция, или наоборот, при пробое уровня, до какой величины может вырасти цена.

    Вот такой путь мы проделали, связав кроликов, пирамиды, галактики и цену на биткоин)

    Спасибо за внимание, жду ваших вопросов, предложений, пожеланий

    Числа Фибоначчи названы в честь Леонардо Фибоначчи из города Пизы (современная Италия). На самом деле эти числа были известны задолго до Фибоначчи ещё в древней Индии, где они использовались в метрическом стихосложении.

    Леонардо Фибоначчи первым ввёл эту числовую последовательность в западноевропейской математической науке в своей важной книге «Liber Abaci» («Книга абака») в 1202 году. Он использовал эту последовательность чисел, когда пытался объяснить рост популяции кроликов.

    Числа Фибоначчи и золотое сечение

    Как известно, последовательность Фибоначчи начинается с 1 и 1, после чего каждое новое число является результатом сложения двух предыдущих чисел:

    Если разделить два последовательных числа в этом ряду, например 144/89, в конечном итоге получится число 1,618, которое называется «Золотое число» или «Золотое сечение».

    Пропорция золотого сечения считается эстетически приятной и из-за этого многие художники и архитекторы, в том числе Сальвадор Дали и Ле Корбюзье использовали её в своих работах.

    Последовательность Фибоначчи и Золотое сечение тесно взаимосвязаны. Отношение последовательных чисел Фибоначчи сходится и приближается к золотому сечению, а выражение замкнутой формулы для последовательности Фибоначчи включает Золотое сечение.

    Спираль Фибоначчи или золотая спираль — это последовательность соединенных четвертей окружностей, вписанных внутри массивов квадратов со сторонами равными числам Фибоначчи. Квадраты идеально подходят друг к другу из-за природы последовательности Фибоначчи, в которой следующее число равно сумме двух перед ним (см.предыдущий рисунок). Любые два последовательных числа Фибоначчи имеют отношение, очень близкое к золотому сечению, которое составляет примерно 1.618034. Чем больше пара чисел Фибоначчи, тем ближе это приближение. Спираль и результирующий прямоугольник называются золотым прямоугольником.

    Почему эта последовательность настолько уникальна

    Числа Фибоначчи описывают различные явления в искусстве, музыке и природе. Числа спиралей на большинстве шишек и ананасах равны числам Фибоначчи. Расположение листьев и ветвей на стеблях многих растений соответствуют числам Фибоначчи. На пианино количество белых (8) клавиш и черных (5) клавиш в каждой октаве (13) являются числами Фибоначчи. Длины и ширины много прямоугольных предметов, таких как учетные карточки, окна, игральные карты и пр. соответствуют последовательным числам ряда Фибоначчи.

    Числа Фибоначчи в природе

    Подсолнухи являются отличными примерами последовательности Фибоначчи, потому что семена в центре цветка организованы в два набора спиралей — короткие, идущие по часовой стрелке от центра, и более длинные — против часовой стрелки. Если считать спирали последовательно, то, видимо, всегда найдутся числа Фибоначчи.

    Последовательность Фибоначчи можно также увидеть в форме или разделении ветвей дерева. Основной ствол будет расти до тех пор, пока он не создаст ветвь, которая создает две точки роста. Затем один из новых стеблей разветвляется на два, в то время как другой находится в состоянии покоя. Такая картина ветвления повторяется для каждого из новых стеблей. Корневая система и даже водоросли также демонстрируют эту закономерность.

    Вот еще несколько примеров, где вы можете найти спираль Фибоначчи в природе.

    Неудивительно, что спиральные галактики также следуют знакомой схеме Фибоначчи. Млечный Путь имеет несколько спиральных рукавов, каждый из которых представляет логарифмическую спираль около 12 градусов.

    Числа Фибоначчи в теле человека

    Есть много примеров соотношений частей тела человека на основе последовательности Фибоначчи, например рука и, в частности, кости пальца.

    Каждая кость указательного пальца, от кончика до основания запястья, больше предыдущей примерно на коэффициент Фибоначчи 1,618, что соответствует числам Фибоначчи 2, 3, 5 и 8.

    Числа Фибоначчи в биржевой торговле

    Последовательность Фибоначчи является инструментом технического анализа, используемым профессиональными трейдерами в сочетании с другими инструментами для расчета прогноза потенциального конца коррекции, принимая процент от предыдущего движения.

    Считается, что во время мощного рыночного движения, цены могут откатываться на 23,6% (это соответствует отношению числа ряда Фибоначчи на позиции N к числу на позиции N+3), 38,2% (соответствует отношению числа ряда Фибоначчи на позиции N к числу на позиции N+2) или 50% (половина). Эти уровни коррекции Фибоначчи считаются «нормальными». Если же цена падает на 61,2% (отношение двух соседних чисел ряда Фибоначчи — позиции N и N+1) и более, то это серьезный сигнал вероятного разворота тренда.

    Числа Фибоначчи в фотографии и искусстве

    В фотографии сетка фи (phi) является интерполяцией спирали Фибоначчи и в наши дни считается фундаментальным методом для создания приятной композиции в кадре. Цель состоит в том, чтобы выровнять объект по линиям, созданным спиралью, или использовать её в качестве разделителя для создания правильного ощущения кадра.

    Имеется много примеров, когда последовательность Фибоначчи появляется вокруг нас, и мы не обращаем внимания на это математическое чудо, которое кажется таинственным фактором, приносящим универсальную форму гармонии элементам математического музыкального искусства природы.

    Может именно из-за этого Дональд Трамп был избран президентом? (шутка):

    Тем не менее, никогда не стоит недооценивать скрытые силы последовательности Фибоначчи.