Кролики клетки и принцип дирихле

«Если кролики рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика». В каждой задаче важно понять что мы считаем «клетками», а что «кроликами». И только после этого мы применяем принцип Дирихле в привычной нам формулировке. 1. a) Докажите, что в любой футбольной команде есть два игрока, которые родились в один и тот же день недели. б) В ковре размером 4х4 метра моль проела 15 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1х1 метр, не содержащий внутри себя дырок. 2. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две одноцветные точки на расстоянии 1 метр друг от друга. 3. Докажите, что в любом наборе из n+1 чисел найдутся два числа, разность которых делится на n. 4. Каждая клетка таблицы 2013х2013 покрашена в один из 2012 цветов. За ход можно взять строку или столбец и, если там есть две клетки одного цвета, перекрасить эту строку или столбец в этот цвет. Можно ли за несколько ходов покрасить всю таблицу в один цвет? 5. На Марсе суша занимает больше половины всей площади. Доказать, что марсиане могут прорыть через центр планеты шахту, соединяющую сушу с сушей. 6. Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число знакомых в данной компании. 7. Докажите, что среди любых 10 целых чисел найдутся одно или несколько, сумма которых делится на 10.

Основные сведения

1. Самая популярная формулировка принципа Дирихле такова: «Если в n клетках сидит m зайцев, причем m > n, то хотя бы в одной клетке сидят по крайней мере два зайца». На первый взгляд даже непонятно, почему это совершенно очевидное замечание является весьма эффективным методом решения задач. Дело в том, что в каждой конкретной задаче нелегко бывает понять, что же здесь «зайцы» и «клетки» и почему зайцев больше, чем клеток. Выбор зайцев и клеток часто неочевиден; далеко не всегда по виду задачи можно определить, что следует воспользоваться принципом Дирихле. А главное, этот метод дает неконструктивное доказательство (мы, естественно, не можем сказать, в какой именно клетке сидят два зайца, а знаем только, что такая клетка есть), а попытка дать конструктивное доказательство, т. е. доказательство путем явного построения или указания требуемого объекта, может привести к гораздо большим трудностям.

2. Некоторые задачи решаются также методами, в какой-то мере аналогичными принципу Дирихле. Сформулируем соответствующие утверждения (все они легко доказываются методом от противного).

а) Если на отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков. сумма длин которых больше 1, то по крайней мере два из них имеют общую точку.

б) Если на окружности радиуса 1 расположено несколько дуг, сумма длин которых больше 2 p , то по крайней мере две из них имеют общую точку.

в) Если внутри фигуры площадью 1 расположено несколько фигур, сумма площадей которых больше 1, то по крайней мере две из них имеют общую точку.

дПЛМБДЮЙЛ — сЭЕОЛП йЧБО чБМЕТШЕЧЙЮ

  • нБФЕТЙБМЩ ЪБОСФЙС
  • мЙФЕТБФХТБ Й РЕТЧПЙУФПЮОЙЛЙ
  • уУЩМЛЙ РП ФЕНЕ
  • ъБДБЮЙ РП ФЕНЕ
  • пФЧЕФЩ Й РПДУЛБЪЛЙ
  • тЕЫЕОЙС
  • рТЕДЩДХЭЕЕ ЪБОСФЙЕ |ч ОБЮБМП |уМЕДХАЭЕЕ ЪБОСФЙЕ

    рТЙОГЙР дЙТЙИМЕ ЗМБУЙФ:

    рХУФШ Ч ЛМЕФЛБИ УЙДЙФ ОЕ НЕОШЫЕ, ЮЕН N+1 ЛТПМЙЛПЧ. фПЗДБ ОБКДЕФУС ЛМЕФЛБ, Ч ЛПФПТПК УЙДЙФ ОЕ НЕОШЫЕ ДЧХИ ЛТПМЙЛПЧ.

    пЛБЪЩЧБЕФУС, ЮФП ЬФП РТПУФПЕ ХФЧЕТЦДЕОЙЕ РПНПЗБЕФ Ч ТЕЫЕОЙЙ УБНЩИ ТБЪОЩИ ЪБДБЮ. зМБЧОПЕ – РПОСФШ, ЮФП Ч ДБООПК ЪБДБЮЕ – ЛМЕФЛЙ, Б ЮФП – ЛТПМЙЛЙ.

    йОПЗДБ ЙУРПМШЪХАФ ПВПВЭЕООЩК РТЙОГЙР дЙТЙИМЕ: рХУФШ Ч N ЛМЕФЛБИ УЙДЙФ k ЛТПМЙЛПЧ. фПЗДБ ОБКДЕФУС ЛМЕФЛБ, Ч ЛПФПТПК УЙДЙФ ОЕ НЕОШЫЕ k/N ЛТПМЙЛПЧ, Й ОБКДЕФУС ЛМЕФЛБ, Ч ЛПФПТПК УЙДЙФ ОЕ ВПМШЫЕ k/N ЛТПМЙЛПЧ.

    рПРТПВХКФЕ РТЙНЕОЙФШ ЬФЙ РТЙОГЙРЩ Ч УМЕДХАЭЙИ ЪБДБЮБИ.

    3.1. ыЕУФШ ЫЛПМШОЙЛПЧ УЯЕМЙ УЕНШ ЛПОЖЕФ.

    Б) дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ПДЙО ЙЪ ОЙИ УЯЕМ ОЕ НЕОЕЕ ДЧХИ ЛПОЖЕФ.

    В) чЕТОП МЙ, ЮФП ЛФП-ФП УЯЕМ ТПЧОП ДЧЕ ЛПОЖЕФЩ?

    3.2. х ЮЕМПЧЕЛБ ОБ ЗПМПЧЕ ОЕ ВПМЕЕ 400000 ЧПМПУ, Ч нПУЛЧЕ ВПМЕЕ 8 НМО ЦЙФЕМЕК. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ОБКДХФУС 20 НПУЛЧЙЮЕК У ПДЙОБЛПЧЩН ЮЙУМПН ЧПМПУ.

    3.3. ч ЛМБУУЕ 15 ХЮЕОЙЛПЧ. оБКДЕФУС МЙ НЕУСГ, Ч ЛПФПТПН ПФНЕЮБАФ УЧПЙ ДОЙ ТПЦДЕОЙС ОЕ НЕОШЫЕ, ЮЕН ДЧБ ХЮЕОЙЛБ ЬФПЗП ЛМБУУБ ?

    3.4. рЕФС ИПЮЕФ ОБРЙУБФШ ОБ ДПУЛЕ 55 ТБЪМЙЮОЩИ ДЧХЪОБЮОЩИ ЮЙУЕМ ФБЛ, ЮФПВЩ УТЕДЙ ОЙИ ОЕ ВЩМП ДЧХИ ЮЙУЕМ, ДБАЭЙИ Ч УХННЕ 100. уНПЦЕФ МЙ ПО ЬФП УДЕМБФШ?

    3.5. ч ЛПЧТЕ ТБЪНЕТПН 4 И 4 НЕФТБ НПМШ РТПЕМБ 15 ДЩТПЛ. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЙЪ ОЕЗП НПЦОП ЧЩТЕЪБФШ ЛПЧТЙЛ ТБЪНЕТПН 1 И 1 НЕФТ, ОЕ УПДЕТЦБЭЙК ЧОХФТЙ УЕВС ДЩТПЛ. (дЩТЛЙ УЮЙФБАФУС ФПЮЕЮОЩНЙ).

    ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС

    3.6. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП УТЕДЙ МАВЩИ ФТЕИ ГЕМЩИ ЮЙУЕМ НПЦОП ОБКФЙ ДЧБ, УХННБ ЛПФПТЩИ ЮЕФОБ.

    3.7. ч ОЕЛПФПТПН ЛМБУУЕ ХЮЙФУС 30 ОЕ ПЮЕОШ ЗТБНПФОЩИ ХЮЕОЙЛПЧ. чП ЧТЕНС ДЙЛФБОФБ ПДЙО ХЮЕОЙЛ УДЕМБМ 14 ПЫЙВПЛ, ОП ЪБФП ПУФБМШОЩЕ НЕОШЫЕ. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП Ч ЛМБУУЕ ЙНЕАФУС ОП ЛТБКОЕК НЕТЕ ФТЙ ХЮЕОЙЛБ, УДЕМБЧЫЙЕ Ч ДЙЛФБОФЕ ПДЙОБЛПЧПЕ ЛПМЙЮЕУФЧП ПЫЙВПЛ.

    3.8*. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП Ч чБЫЕН ЛМБУУЕ ОБКДХФУС ДЧБ ЮЕМПЧЕЛБ, ЙНЕАЭЙЕ ПДЙОБЛПЧПЕ ЮЙУМП ДТХЪЕК УТЕДЙ УЧПЙИ ПДОПЛМБУУОЙЛПЧ.

    3.9. ч ЛМЕФЛБИ ЫБИНБФОПК ДПУЛЙ 8 И 8 ЪБРЙУБОЩ ЮЙУМБ 1, 2, 3, . 62, 63, 64. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ОБКДХФУС ДЧЕ ФБЛЙЕ УПУЕДОЙЕ ЛМЕФЛЙ, ЮФП ЮЙУМБ, ЪБРЙУБООЩЕ Ч ОЙИ, ПФМЙЮБАФУС ОЕ НЕОШЫЕ, ЮЕН ОБ 9. (уПУЕДОЙНЙ УЮЙФБАФУС ЛМЕФЛЙ, ЙНЕАЭЙЕ ПВЭХА УФПТПОХ ЙМЙ ЧЕТЫЙОХ).

    3.10. оБ ДБМЕЛПК РМБОЕФЕ ъСН-МСН, ЙНЕАЭЕК ЖПТНХ ЫБТБ, УХЫБ ЪБОЙНБЕФ ВПМЕЕ РПМПЧЙОЩ РПЧЕТИОПУФЙ РМБОЕФЩ. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП НПЦОП РТПТЩФШ РТСНПК ФХООЕМШ, РТПИПДСЭЙК ЮЕТЕЪ ГЕОФТ РМБОЕФЩ Й УПЕДЙОСАЭЙК УХЫХ У УХЫЕК.

    пФЧЕФЩ Й ХЛБЪБОЙС

    3.1. Б) хЛБЪБОЙЕ: РТЙНЕОЙФЕ РТЙОГЙР дЙТЙИМЕ, УЮЙФБС, ЮФП, «ЛМЕФЛЙ» – ЬФП ЫЛПМШОЙЛЙ, Б «ЛТПМЙЛЙ» – ЬФП ЛПОЖЕФЩ.

    В) оЕ ПВСЪБФЕМШОП: ОБРТЙНЕТ, ЧУЕ УЕНШ ЛПОЖЕФ НПЗ УЯЕУФШ ПДЙО ЫЛПМШОЙЛ.

    3.2. рП ХУМПЧЙА ОБ ЗПМПЧЕ Х ЛБЦДПЗП ЙЪ НПУЛЧЙЮЕК НПЦЕФ ВЩФШ ПФ 0 ДП 400000 ЧПМПУ – ЙНЕЕН ЧУЕЗП 400001 ЧПЪНПЦОПУФШ. рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП ХФЧЕТЦДЕОЙЕ ЪБДБЮЙ ОЕЧЕТОП. фПЗДБ МЩУЩИ НПУЛЧЙЮЕК ОБКДЕФУС ОЕ ВПМЕЕ 19, ЙНЕАЭЙИ 1 ЧПМПУ – ФПЦЕ ОЕ ВПМЕЕ 19, . ЙНЕАЭЙИ 400000 ЧПМПУ – ФПЦЕ ОЕ ВПМЕЕ 19. оП ФПЗДБ ЧУЕЗП НПУЛЧЙЮЕК ОЕ ВПМЕЕ 19 № 400001 = 7600019, ЮФП НЕОШЫЕ 8 НЙММЙПОПЧ – РТПФЙЧПТЕЮЙЕ.

    3.3. дБ, ОБКДЕФУС: ЧУЕЗП НЕУСГЕЧ 12, Б ХЮЕОЙЛПЧ 15 ) 12. ъДЕУШ «ЛТПМЙЛЙ» – ЬФП ХЮЕОЙЛЙ, Б «ЛМЕФЛЙ» – ЬФП НЕУСГЩ.

    3.4. пФЧЕФ: ОЕФ, ОЕ УНПЦЕФ. тБЪПВШЕН ЧУЕ ЮЙУМБ ПФ 10 ДП 90 (ЛТПНЕ 50) ОБ РБТЩ (10, 90), (11, 89), . (49, 51). ч ЛБЦДПК РБТЕ УХННБ ЮЙУЕМ ТБЧОБ 100. фБЛЙИ РБТ 40, Й ЕЭЕ ЕУФШ 10 ЮЙУЕМ ВЕЪ РБТЩ: ЬФП ЮЙУМБ 50, 91, 92, . 99 – ЧУЕЗП 50 «ЛМЕФПЛ». фБЛ ЛБЛ рЕФС ИПЮЕФ ОБРЙУБФШ 55 ЮЙУЕМ, Б 55 ) 50, ФП ПО ПВСЪБФЕМШОП ОБРЙЫЕФ ДЧБ ЮЙУМБ ЙЪ ПДОПК РБТЩ – ЙИ УХННБ Й ВХДЕФ ТБЧОБ 100.

    3.5. тБЪТЕЦЕН ЛПЧЕТ ФТЕНС ЧЕТФЙЛБМШОЩНЙ Й ФТЕНС ЗПТЙЪПОФБМШОЩНЙ ТБЪТЕЪБНЙ ОБ 16 ПДЙОБЛПЧЩИ ЛПЧТЙЛПЧ ТБЪНЕТПН 1 И 1 НЕФТ. рПУЛПМШЛХ 16 ) 15, ФП ПДЙО ЙЪ ЛПЧТЙЛПЧ ВХДЕФ ВЕЪ ДЩТ.

    3.6. тБУУНПФТЙН ОБ РМПУЛПУФЙ ФТЕХЗПМШОЙЛ, ЧУЕ ФТЙ УФПТПОЩ ЛПФПТПЗП ТБЧОЩ 1 НЕФТХ. рП РТЙОГЙРХ дЙТЙИМЕ, ЙЪ ФТЕИ ЕЗП ЧЕТЫЙО ЛБЛЙЕ-ФП ДЧЕ ВХДХФ ПЛТБЫЕОЩ ПДЙОБЛПЧП.

    ртйогйр дйтйиме (ъБДБЮЙ ЧОЕЛМБУОПК ТБВПФЩ)

    1. ч ЛМБУУЕ 30 ЮЕМПЧЕЛ. ч ДЙЛФБОФЕ чЙФС нБМЕЕЧ УДЕМБМ 12 ПЫЙВПЛ, Б ЛБЦДЩК ЙЪ ПУФБМШОЩИ – ОЕ ВПМШЫЕ. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП РП ЛТБКОЕК НЕТЕ ФТПЕ ХЮЕОЙЛПЧ УДЕМБМЙ ПДЙОБЛПЧПЕ ЛПМЙЮЕУФЧП (ВЩФШ НПЦЕФ, Й ОПМШ) ПЫЙВПЛ.

    2. ч НБЗБЪЙО РТЙЧЕЪМЙ 25 СЭЙЛПЧ У СВМПЛБНЙ ФТЕИ УПТФПЧ, РТЙЮЕН Ч ЛБЦДПН СЭЙЛЕ МЕЦБФ СВМПЛЙ ЛБЛПЗП-ФП ПДОПЗП УПТФБ. нПЦОП МЙ ОБКФЙ 9 СЭЙЛПЧ У СВМПЛБНЙ ПДОПЗП УПТФБ?

    3. ч ЫЛБЖХ МЕЦБФ ЧРЕТЕНЕЫЛХ 5 РБТ УЧЕФМЩИ ВПФЙОПЛ Й 5 РБТ ФЕНОЩИ ВПФЙОПЛ ПДЙОБЛПЧЩИ ТБЪНЕТБ Й ЖБУПОБ. лБЛПЕ ОБЙНЕОШЫЕЕ ЛПМЙЮЕУФЧП ВПФЙОПЛ ОБДП ЧЪСФШ ОБХЗБД ЙЪ ЫЛБЖБ, ЮФПВЩ УТЕДЙ ОЙИ ВЩМБ ИПФШ ПДОБ РБТБ (ОБ РТБЧХА Й МЕЧХА ОПЗЙ) ПДЙОБЛПЧПЗП ГЧЕФБ?

    4. рТЙОЕУМЙ 5 ЮЕНПДБОПЧ Й 5 ЛМАЮЕК ПФ ЬФЙИ ЮЕНПДБОПЧ, ОП ОЕЙЪЧЕУФОП, ЛБЛПК ЛМАЮ ПФ ЛБЛПЗП ЮЕНПДБОБ. уЛПМШЛП РТПВ РТЙДЕФУС УДЕМБФШ Ч УБНПН ИХДЫЕН УМХЮБЕ, ЮФПВЩ РПДПВТБФШ Л ЛБЦДПНХ ЮЕНПДБОХ УЧПК ЛМАЮ?

    5. ч ЛПТПВЛЕ МЕЦБФ ЛБТБОДБЫЙ: 7 ЛТБУОЩИ Й 5 УЙОЙИ. ч ФЕНОПФЕ ВЕТХФ ЛБТБОДБЫЙ. уЛПМШЛП ОБДП ЧЪСФШ ЛБТБОДБЫЕК, ЮФПВЩ УТЕДЙ ОЙИ ВЩМП ОЕ НЕОШЫЕ 2-И ЛТБУОЩИ Й ОЕ НЕОШЫЕ 3-И УЙОЙИ?

    4. ч СЭЙЛЕ МЕЦБФ ГЧЕФОЩЕ ЛБТБОДБЫЙ: 10 ЛТБУОЩИ, 8 УЙОЙИ Й 4 ЦЕМФЩИ. ч ФЕНОПФЕ ВЕТЕН ЙЪ СЭЙЛБ ЛБТБОДБЫЙ. лБЛПЕ ОБЙНЕОШЫЕЕ ЮЙУМП ЛБТБОДБЫЕК ОБДП ЧЪСФШ, ЮФПВЩ УТЕДЙ ОЙИ ЪБЧЕДПНП ВЩМП:

    Б) ОЕ НЕОЕЕ 4-И ЛБТБОДБЫЕК ПДОПЗП ГЧЕФБ?

    В) ОЕ НЕОЕЕ 6-ФЙ ЛБТБОДБЫЕК ПДОПЗП ГЧЕФБ?

    Ч) ИПФС ВЩ 1 ЛБТБОДБЫ ЛБЦДПЗП ГЧЕФБ?

    З) ОЕ НЕОЕЕ 6-ФЙ УЙОЙИ ЛБТБОДБЫЕК?

    7. ч РПЗТЕВЕ УФПЙФ 20 ПДЙОБЛПЧЩИ ВБОПЛ У ЧБТЕОШЕН. ч 8-НЙ ВБОЛБИ ЛМХВОЙЮОПЕ ЧБТЕОШЕ, Ч 7-НЙ – НБМЙОПЧПЕ, Ч 5-ФЙ – ЧЙЫОЕЧПЕ. лБЛПЧП ОБЙВПМШЫЕЕ ЮЙУМП ВБОПЛ, ЛПФПТЩЕ НПЦОП Ч ФЕНОПФЕ ЧЩОЕУФЙ ЙЪ РПЗТЕВБ У ХЧЕТЕООПУФША, ЮФП ФБН ПУФБМПУШ ЕЭЕ ИПФС ВЩ 4 ВБОЛЙ ПДОПЗП УПТФБ ЧБТЕОШС Й 3 ВБОЛЙ ДТХЗПЗП?

    8. ч УПТЕЧОПЧБОЙСИ РП ЧПМШОПК ВПТШВЕ ХЮБУФЧПЧБМП 12 ЮЕМПЧЕЛ. лБЦДЩК ХЮБУФОЙЛ ДПМЦЕО ВЩМ ЧУФТЕФЙФШУС У ЛБЦДЩН ЙЪ ПУФБМШОЩИ РП ПДОПНХ ТБЪХ. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП Ч МАВПК НПНЕОФ УПТЕЧОПЧБОЙС ЙНЕАФУС ДЧБ ХЮБУФОЙЛБ, РТПЧЕДЫЙЕ ПДЙОБЛПЧПЕ ЮЙУМП УИЧБФПЛ.

    рТЙОГЙР дЙТЙИМЕ (ПФЧЕФЩ)

    3. чПЪШНЕН 10 ВПФЙОПЛ. нПЦЕФ ПЛБЪБФШУС, ЮФП УТЕДЙ ОЙИ 5 УЧЕФМЩИ ОБ ПДОХ ОПЗХ Й 5 ФЕНОЩИ ФПЦЕ ОБ ПДОХ ОПЗХ. ч ЬФПН УМХЮБЕ, ЕУМЙ ЧЪСФШ 11-К ВПФЙОПЛ, ПО У ПДОЙН ЙЪ ТБОЕЕ ЧЪСФЩИ ДБЕФ РБТХ УЧЕФМЩИ ЙМЙ ФЕНОЩИ ВПФЙОПЛ.

    4. рЕТЧЩК ЛМАЮ ОБИПДЙФ УЧПК ЮЕНПДБО Ч ИХДЫЕН УМХЮБЕ ЪБ 4 РТПВЩ, ЧФПТПК – ЪБ 3, ФТЕФЙК – ЪБ 2, ЮЕФЧЕТФЩК – ЪБ 1, РСФЩК РПДИПДЙФ Л ПУФБЧЫЕНХУС ЮЕНПДБОХ. ч ИХДЫЕН УМХЮБЕ ЧУЕЗП ВХДЕФ 10 РТПВ.

    5. 10 ЛБТБОДБЫЕК.

    6. Б) 10; 6) 15; Ч) 19; З) 20.

    7. нПЦОП ЧЩОЕУФЙ 7 ВБОПЛ.

    8. лБЦДЩК ХЮБУФОЙЛ ДПМЦЕО РТПЧЕУФЙ 11 УИЧБФПЛ. тБУРТЕДЕМЙН ХЮБУФОЙЛПЧ РП ЗТХРРБН. л 1-К ЗТХРРЕ ПФОЕУЕН ФЕИ, ЛФП Ч ДБООЩК НПНЕОФ ОЕ РТПЧЕМ ОЙ ПДОПК УИЧБФЛЙ; ЛП ЧФПТПК – ФЕИ, ЛФП РТПЧЕМ ПДОХ УИЧБФЛХ, Й Ф. Д. л РПУМЕДОЕК, 12-К ЗТХРРЕ, ПФОЕУЕН ФЕИ, ЛФП РТПЧЕМ ЧУЕ 11 УИЧБФПЛ. оП ПДОПЧТЕНЕООП ОЕ НПЗХФ УХЭЕУФЧПЧБФШ 1-С Й 12-С ЗТХРРЩ. фБЛ, ЕУМЙ ИПФС ВЩ ПДЙО ХЮБУФОЙЛ РТПЧЕМ ЧУЕ УИЧБФЛЙ, ФП ОЕ НПЦЕФ ВЩФШ ХЮБУФОЙЛБ, ЛПФПТЩК ОЕ РТПЧЕМ ВЩ ОЙ ПДОПК УИЧБФЛЙ. пФУАДБ ЮЙУМП ЗТХРР НПЦЕФ ВЩФШ ФПМШЛП 11, Б ЮЙУМП ХЮБУФОЙЛПЧ – 12. рП РТЙОГЙРХ дЙТЙИМЕ Л ПДОПК ЙЪ ЗТХРР ДПМЦОП РТЙОБДМЕЦБФШ, РП ЛТБКОЕК НЕТЕ, ДЧБ ХЮБУФОЙЛБ.

    ч РТПУФЕКЫЕН ЧЙДЕ ЕЗП ЧЩТБЦБАФ ФБЛ: ¤еУМЙ ДЕУСФШ ЛТПМЙЛПЧ УЙДСФ Ч ДЕЧСФЙ СЭЙЛБИ, ФП Ч ОЕЛПФПТПН СЭЙЛЕ УЙДСФ ОЕ НЕОШЫЕ ДЧХИ лТПМЙЛПЧЇ.

    пВЭБС ЖПТНХМЙТПЧЛБ: ¤еУМЙ n ЛТПМЙЛПЧ УЙДСФ Ч k СЭЙЛБИ, ФП ОБКДЈФУС СЭЙЛ, Ч ЛПФПТПН УЙДСФ ОЕ НЕОШЫЕ ЮЕН n/k ЛТПМЙЛПЧ, Й ОБКДЕФУС СЭЙЛ, Ч ЛПФПТПН УЙДСФ ОЕ ВПМШЫЕ ЮЕН n/k ЛТПМЙЛПЧЇ. рХУФШ ЧБУ ОЕ УНХЭБЕФ ДТПВОПЕ ЮЙУМП ЛТПМЙЛПЧ” ЕУМЙ РПМХЮЙФУС, ЮФП Ч СЭЙЛЕ ОЕ НЕОШЫЕ 7/3 ЛТПМЙЛПЧ, ЪОБЮЙФ, ЙИ ОЕ НЕОШЫЕ ФТЕИ.

    дПЛБЪБФЕМШУФЧП РТЙОГЙРБ дЙТЙИМЕ РТПУФПЕ, ОП ЪБУМХЦЙЧБЕФ ЧОЙНБОЙС, РПУЛПМШЛХ РПИПЦЙЕ ТБУУХЦДЕОЙС ЮБУФП ЧУФТЕЮБАФУС.

    дПРХУФЙН, ЮФП Ч ЛБЦДПН СЭЙЛЕ УЙДСФ НЕОШЫЕ ЮЕН n/k ЛТПМЙЛПЧ. фПЗДБ ЧП ЧУЕИ СЭЙЛБИ ЧНЕУФЕ ЛТПМЙЛПЧ НЕОШЫЕ, ЮЕН (n/k)*k=n. рТПФЙЧПТЕЮЙЕ.

    жПТНХМЙТПЧЛБ РТЙОГЙРБ дЙТЙИМЕ ЛБЦЕФУС ПЮЕЧЙДОПК, ПДОБЛП ФТХДОПУФШ УПУФПЙФ Ч ФПН, ЮФП Ч ЪБДБЮБИ ОЕ ХЛБЪБОЩ ОЙ ЛТПМЙЛЙ, ОЙ СЭЙЛЙ.

    ъОБС РТЙОГЙР дЙТЙИМЕ, НПЦОП ДПЗБДБФШУС, Ч ЛБЛЙИ УМХЮБСИ ЕЗП РТЙНЕОСФШ. оБРТЙНЕТ, ЕУМЙ ЛБЦДПНХ ЬМЕНЕОФХ НОПЦЕУФЧБ б УППФЧЕФУФЧХЕФ ТПЧОП ПДЙО ЬМЕНЕОФ НОПЦЕУФЧБ ч, ФП ЬМЕНЕОФЩ б НПЦОП ОБЪЧБФШ ЛТПМЙЛБНЙ, Б ЬМЕНЕОФЩ B ” СЭЙЛБНЙ.

    рТЙОГЙР дЙТЙИМЕ ВЩЧБЕФ ОЕРТЕТЩЧОЩН: ¤еУМЙ n ЛТПМЙЛПЧ УЯЕМЙ m ЛЗ ФТБЧЩ, ФП ЛБЛПК-ФП ЛТПМЙЛ УЯЕМ ОЕ НЕОШЫЕ m/n ЛЗ Й ЛБЛПК-ФП УЯЕМ ОЕ ВПМШЫЕ m/n ЛЗЇ (Б ЕУМЙ ЛФП-ФП УЯЕМ ВПМШЫЕ УТЕДОЕЗП, ФП ЛФП-ФП УЯЕМ НЕОШЫЕ УТЕДОЕЗП). й ъБНЕФЙН, ЮФП Ч РПУМЕДОЕК ЖПТНХМЙТПЧЛЕ ЛТПМЙЛЙ ЙЗТБАФ ТПМШ СЭЙЛПЧ ДМС ФТБЧЩ, Б ФТБЧБ,” ТПМШ ЛТПМЙЛПЧ, УЙДСЭЙИ Ч СЭЙЛБИ.

    рТЙНЕТ 1. ч ЫЛПМЕ 400 ХЮЕОЙЛПЧ. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ИПФС ВЩ ДЧПЕ ЙЪ ОЙИ ТПДЙМЙУШ Ч ПДЙО ДЕОШ ЗПДБ.

    тЕЫЕОЙЕ. чУЕЗП Ч ЗПДХ ВЩЧБЕФ 366 ДОЕК. оБЪПЧЕН ДОЙ СЭЙЛБНЙ, Б ХЮЕОЙЛПЧ ЛТПМЙЛБНЙ. фПЗДБ Ч ОЕЛПФПТПН СЭЙЛЕ УЙДСФ ОЕ НЕОШЫЕ с ЛТПМЙЛПЧ, Ф.Е. ВПМШЫЕ ПДОПЗП. уМЕДПЧБФЕМШОП, ОЕ НЕОШЫЕ ДЧХИ.

    нПЦОП ТБУУХЦДБФШ ПФ РТПФЙЧОПЗП. дПРХУФЙН, ЮФП ЛБЦДЩК ДЕОШ ПФНЕЮБАФ ДЕОШ ТПЦДЕОЙС ОЕ ВПМШЫЕ ПДОПЗП ХЮЕОЙЛБ, ФПЗДБ ЧУЕЗП ХЮЕОЙЛПЧ ОЕ ВПМШЫЕ 366. рТПФЙЧПТЕЮЙЕ.

    рТЙНЕТ 2. лПФ вБЪЙМЙП РППВЕЭБМ вХТБФЙОП ПФЛТЩФШ ЧЕМЙЛХА ФБКОХ, ЕУМЙ ПО УПУФБЧЙФ ЮХДЕУОЩК ЛЧБДТБФ 6 x 6 ЙЪ ЮЙУЕМ +1, – 1, 0 ФБЛ, ЮФПВЩ ЧУЕ УХННЩ РП УФТПЛБН, РП УФПМВГБН Й РП ВПМШЫЙН ДЙБЗПОБМСН ВЩМЙ ТБЪМЙЮОЩ. рПНПЗЙФЕ вХТБФЙОП.

    тЕЫЕОЙЕ. дПРХУФЙН, ЮФП ЛЧБДТБФ УПУФБЧМЕО. фПЗДБ УХННЩ ЮЙУЕМ НПЗХФ НЕОСФШУС Ч РТЕДЕМБИ ПФ – 6 ДП +6. чУЕЗП 13 ЪОБЮЕОЙК. уФТПЛ Ч ЛЧБДТБФЕ 6, УФПМВГПЧ 6, ДЙБЗПОБМЕК 2. рПМХЮБЕН 14 ТБЪМЙЮОЩИ УХНН. рТПФЙЧПТЕЮЙЕ, ЪОБЮЙФ УПУФБЧЙФШ ФБЛПК ЛЧБДТБФ ОЕЧПЪНПЦОП.

    рТЙНЕТ 3. оБ РМБОЕФЕ ъЕНМС ПЛЕБО ЪБОЙНБЕФ ВПМШЫЕ РПМПЧЙОЩ РМПЭБДЙ РПЧЕТИОПУФЙ. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП Ч НЙТПЧПН ПЛЕБОЕ НПЦОП ХЛБЪБФШ ДЧЕ ДЙБНЕФТБМШОП РТПФЙЧПРПМПЦОЩЕ ФПЮЛЙ.

    тЕЫЕОЙЕ. пФТБЪЙН ПЛЕБО УЙННЕФТЙЮОП ПФОПУЙФЕМШОП ГЕОФТБ ъЕНМЙ. рПУЛПМШЛХ УХННБ РМПЭБДЕК ПЛЕБОБ Й ЕЗП ПВТБЪБ РТЕЧЩЫБЕФ РМПЭБДШ ЪЕНОПК РПЧЕТИОПУФЙ, ФП УХЭЕУФЧХЕФ ФПЮЛБ, РТЙОБДМЕЦБЭБС ПЛЕБОХ Й ЕЗП ПВТБЪХ. чПЪШНЕН ЬФХ ФПЮЛХ ЧНЕУФЕ У РТПФЙЧПРПМПЦОПК Л ОЕК.

    рТЙНЕТ 4. оБ УПВЕУЕДПЧБОЙЕ РТЙЫМЙ 65 ЫЛПМШОЙЛПЧ. йН РТЕДМПЦЙМЙ 3 ЛПОФТПМШОЩИ ТБВПФЩ. ъБ ЛБЦДХА ЛПОФТПМШОХА УФБЧЙМБУШ ПДОБ ЙЪ ПГЕОПЛ: 2, 3, 4 ЙМЙ 5. чЕТОП МЙ, ЮФП ОБКДХФУС ДЧБ ЫЛПМШОЙЛБ, РПМХЮЙЧЫЙЕ ПДЙОБЛПЧЩЕ ПГЕОЛЙ ОБ ЧУЕИ ЛПОФТПМШОЩИ?

    тЕЫЕОЙЕ. тБУУНПФТЙН НОПЦЕУФЧП ОБВПТПЧ ЙЪ ФТЕИ ПГЕОПЛ ЪБ УППФЧЕФУФЧХАЭЙЕ ЛПОФТПМШОЩЕ. лПМЙЮЕУФЧП ФБЛЙИ ОБВПТПЧ ТБЧОП 4

    ЙМЙ 64 (4 ЧПЪНПЦОПУФЙ ЪБ ЛБЦДХА ЙЪ ФТЕИ ЛПОФТПМШОЩИ). рПУЛПМШЛХ ЮЙУМП ХЮБЭЙИУС ВПМШЫЕ 64, РП РТЙОГЙРХ дЙТЙИМЕ ЛБЛЙН-ФП ДЧХН ХЮБЭЙНУС ПФЧЕЮБЕФ ПДЙО ОБВПТ ПГЕОПЛ.

    1. ч ЛМБУУЕ 30 ХЮЕОЙЛПЧ. чП ЧТЕНС ЛПОФТПМШОПК ТБВПФЩ рЕФС УДЕМБМ 13 ПЫЙВПЛ, Б ПУФБМШОЩЕ ” НЕОШЫЕ. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ОБКДХФУС ФТЙ ХЮЕОЙЛБ, УДЕМБЧЫЙЕ ПДЙОБЛПЧПЕ ЮЙУМП ПЫЙВПЛ.

    2. оБ ъЕНМЕ ВПМШЫЕ 4 НЙММЙБТДПЧ ЮЕМПЧЕЛ, ЛПФПТЩЕ НПМПЦЕ 100 МЕФ, дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ОБ ъЕНМЕ ЕУФШ ДЧБ ЮЕМПЧЕЛБ, ТПДЙЧЫЙИУС Ч ПДОХ Й ФХ ЦЕ УЕЛХОДХ.

    3. оБ РМПУЛПУФЙ РТПЧЕДЕОП 12 РТСНЩИ. дПЛБЦЙФЕ,, ЮФП ЛБЛЙЕ-ФП ДЧЕ ЙЪ ОЙИ ПВТБЪХАФ ХЗПМ ОЕ ВПМШЫЕ 15ё.

    4. ч СЭЙЛЕ МЕЦБФ ОПУЛЙ: 10 ЮЕТОЩИ, 10 УЙОЙИ, 10 ВЕМЩИ. лБЛПЕ ОБЙНЕОШЫЕЕ ЛПМЙЮЕУФЧП ОПУЛПЧ, ОБДП ЧЩОХФШ ОЕ ЗМСДС, ЮФПВЩ УТСДЙ ЧЩОХФЩИ, ПЛБЪБМПУШ ДЧБ ОПУЛБ Б) ПДОПЗП ГЧЕФБ; В) ТБЪОЩИ ГЧЕФПЧ; Ч) ЮЕТОПЗП ГЧЕФБ?

    5. оБ ЛБТШЕТЕ ДПВЩМЙ 36 ЛБНОЕК. йИ ЧЕУБ УППФЧЕФУФЧЕООП 490ЛЗ, 495ЛЗ, 500ЛЗ,…, 665ЛЗ (БТЙЖНЕФЙЮЕУЛБС РТПЗТЕУУЙС). нПЦОП МЙ ХЧЕЪФЙ ЬФЙ ЛБНОЙ ОБ УЕНЙ ФТЕИФПООЩИ ЗТХЪПЧЙЛБИ?

    6. лБЛПЕ ОБЙНЕОШЫЕЕ ЮЙУМП ЛБТФПЮЕЛ УРПТФМПФП ¤6 ЙЪ 49Ї ОБДП ЛХРЙФШ, ЮФПВЩ ОБЧЕТОСЛБ ИПФШ ОБ ПДОПК ЙЪ ОЙИ ВЩМ ХЗБДБО ИПФШ ПДЙО ОПНЕТ?

    7. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП УТЕДЙ МАВЩИ РСФЙ ЮЕМПЧЕЛ ЕУФШ ДЧПЕ У ПДЙОБЛПЧЩН ЮЙУМПН ЪОБЛПНЩИ УТЕДЙ ЬФЙИ РСФЙ ЮЕМПЧЕЛ. (чПЪНПЦОП, ЬФЙ ДЧПЕ ОЙ У ЛЕН ОЕЪОБЛПНЩ.)

    8. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЙЪ МАВЩИ ГЕМЩИ ЮЙУЕМ ЧУЕЗДБ НПЦОП ЧЩВТБФШ ДЧБ, УХННБ ЙМЙ ТБЪОПУФШ ЛПФПТЩИ ДЕМЙФУС ОБ 100.

    9. лЧБДТБФОБС ФБВМЙГБ (2n+1) И (2n+1) ЪБРПМОЕОБ ЮЙУМБНЙ ПФ 1 ДП 2 ФБЛ, ЮФП Ч ЛБЦДПК УФТПЛЕ Й Ч ЛБЦДПН УФПМВГЕ РТЕДУФБЧМЕОЩ ЧУЕ ЬФЙ ЮЙУМБ. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЕУМЙ ЬФП ТБУРПМПЦЕОЙЕ УЙННЕФТЙЮОП ПФОПУЙФЕМШОП ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ, ФП ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ ФПЦЕ РТЕДУФБЧМЕОЩ ЧУЕ ЬФЙ ЮЙУМБ.

    11. лПНЙУУЙС ЙЪ 60 ЮЕМПЧЕЛ РТПЧЕМБ 40 ЪБУЕДБОЙК, РТЙЮЕН ОБ ЛБЦДПН РТЙУХФУФЧПЧБМП ТПЧОП 10 ЮМЕОПЧ ЛПНЙУУЙК. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЛБЛЙЕ-ФП ДЧБ ЮМЕОБ ЛПНЙУУЙЙ ЧУФТЕЮБМЙУШ ОБ ЕЈ ЪБУЕДБОЙСИ РП ЛТБКОЕК НЕТЕ ДЧБЦДЩ.

    13. лБЦДБС ЙЪ 9 РТСНЩИ ТБЪВЙЧБЕФ ЛЧБДТБФ ОБ ДЧБ ЮЕФЩТЕИХЗПМШОЙЛБ, РМПЭБДЙ ЛПФПТЩИ ПФОПУСФУС ЛБЛ 2:3. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП РП ЛТБКОЕК, НЕТЕ ФТЙ ЙЪ ЬФЙИ РТСНЩИ РТПИПДСФ ЮЕТЕЪ ПДОХ ФПЮЛХ.

    бЧФПТ: д. лБМЙОЙО

    хФЧЕТЦДЕОЙЕ «УТЕДЙ МАВЩИ ФТЕИ ГЕМЩИ ЮЙУЕМ ОБКДХФУС ДЧБ ЮЙУМБ ПДОПК ЮЕФОПУФЙ» ЛБЦЕФУС ПЮЕЧЙДОЩН, ФБЛЦЕ ЛБЛ Й ХФЧЕТЦДЕОЙЕ «УТЕДЙ 13 ЮЕМПЧЕЛ ОБКДХФУС ДЧПЕ, ТПДЙЧЫЙЕУС Ч ПДЙО НЕУСГ». й ФП, Й ДТХЗПЕ НПЦОП ПВПУОПЧБФШ ТБЪВПТПН УМХЮБЕЧ. оП ВПМЕЕ ЗТБНПФОЩН ВХДЕФ РПУФТПЙФШ ТБУУХЦДЕОЙЕ ПФ РТПФЙЧОПЗП. дМС ЧФПТПЗП ХФЧЕТЦДЕОЙС ЬФП ВХДЕФ ЧЩЗМСДЕФШ ФБЛ:

    «рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП ОЕ ОБКДЕФУС ДЧХИ ФБЛЙИ ЮЕМПЧЕЛ. фПЗДБ Ч ЛБЦДЩК ЙЪ 12 НЕУСГЕЧ ТПДЙМПУШ ОЕ ВПМЕЕ ПДОПЗП ЮЕМПЧЕЛБ. ъОБЮЙФ, ЙНЕЕФУС ЧУЕЗП ОЕ ВПМЕЕ 12 ЮЕМПЧЕЛ, ЮФП РТПФЙЧПТЕЮЙФ ХУМПЧЙА ЪБДБЮЙ: 12 РТЙОГЙРПН дЙТЙИМЕ . лМБУУЙЮЕУЛБС ЖПТНХМЙТПЧЛБ ЪЧХЮЙФ ФБЛ: « еУМЙ ( n + 1) ЛТПМЙЛПЧ УЙДСФ Ч n СЭЙЛБИ, ФП ОБКДЈФУС СЭЙЛ, Ч ЛПФПТПН УЙДЙФ, РП ЛТБКОЕК НЕТЕ, ДЧБ ЛТПМЙЛБ». дПЛБЪБФЕМШУФЧП ЬФПЗП ХФЧЕТЦДЕОЙС ФБЛЦЕ УФТПЙФУС ПФ РТПФЙЧОПЗП:

    «рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП Ч ЛБЦДПН СЭЙЛЕ УЙДЙФ НЕОЕЕ ДЧХИ ЛТПМЙЛПЧ (ПДЙО ЙМЙ ОЙ ПДОПЗП). фПЗДБ ЧП ЧУЕИ n СЭЙЛБИ Ч УПЧПЛХРОПУФЙ УЙДЙФ ОЕ ВПМЕЕ n ЛТПМЙЛПЧ. рТПФЙЧПТЕЮЙЕ.»

    тЕЫЕОЙЕ ЪБДБЮЙ У РПНПЭША РТЙОГЙРБ дЙТЙИМЕ УЧПДЙФУС Л ЧЩВПТХ «ЛТПМЙЛПЧ» Й «ЛМЕФПЛ». йОПЗДБ ОЕ УПЧУЕН ПЮЕЧЙДОП, ЛФП Ч ДБООПК ЪБДБЮЕ СЧМСЮЕФУС «ЛТПМЙЛПН», Й ЮФП УМХЦЙФ «ЛМЕФЛПК».

    дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ОЙЛБЛБС РТСНБС ОЕ НПЦЕФ РЕТЕУЕЛБФШ ЧУЕ ФТЙ УФПТПОЩ ФТЕХЗПМШОЙЛБ.

    тЕЫЕОЙЕ: рТСНБС ДЕМЙФ РМПУЛПУФШ ОБ ДЧЕ РПМХРМПУЛПУФЙ, ЛПФПТЩЕ НЩ ОБЪПЧЕН «ЛМЕФЛБНЙ». фТЙ ЧЕТЫЙОЩ ФТЕХЗПМШОЙЛБ ОБЪПЧЕН «ЛТПМЙЛБНЙ». рП РТЙОГЙРХ дЙТЙИМЕ, «ОБКДЕФУС ЛМЕФЛБ, Ч ЛПФПТПК УЙДЙФ РП ЛТБКОЕК НЕТЕ ДЧБ ЛТПМЙЛБ», ФП ЕУФШ ОБКДХФУС ДЧЕ ЧЕТЫЙОЩ, МЕЦБЭЙЕ Ч ПДОПК РПМХРМПУЛПУФЙ ПФОПУЙФЕМШОП ДБООПК РТСНПК. уФПТПОБ, УПЕДЙОСАЭБС ЬФЙ ЧЕТЫЙОЩ, ОЕ РЕТЕУЕЛБЕФ ДБООХА РТСНХА.

    зТБОЙ ЛХВБ ПЛТБЫЕОЩ Ч 2 ГЧЕФБ. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ОБКДХФУС ДЧЕ УПУЕДОЙЕ ПДОПГЧЕФОЩЕ ЗТБОЙ.

    тЕЫЕОЙЕ: тБУУНПФТЙН ФТЙ ЗТБОЙ ЛХВБ, ЙНЕАЭЙЕ ПВЭХА ЧЕТЫЙОХ. оБЪПЧЕН ЙИ «ЛТПМЙЛБНЙ», Б ДБООЩЕ ГЧЕФБ — «ЛМЕФЛБНЙ». рП РТЙОГЙРХ дЙТЙИМЕ, ОБКДХФУС ДЧЕ ЗТБОЙ, ПЛТБЫЕООЩЕ Ч ПДЙО ГЧЕФ. пОЙ Й ВХДХФ УПУЕДОЙНЙ.

    бОБМПЗЙЮОП ДПЛБЪЩЧБЕФУС ПВЭБС ЖПТНХМЙТПЧЛБ РТЙОГЙРБ дЙТЙИМЕ: «еУМЙ n ЛТПМЙЛПЧ УЙДСФ Ч k СЭЙЛБИ, ФП ОБКДЈФУС СЭЙЛ, Ч ЛПФПТПН УЙДСФ ОЕ НЕОШЫЕ ЮЕН n / k ЛТПМЙЛПЧ».

    оЕНОПЗП ЙОБЮЕ ЬФП ХФЧЕТЦДЕОЙЕ ЧЩЗМСДЙФ ФБЛ: «еУМЙ nk + 1 ЛТПМЙЛПЧ УЙДСФ Ч k СЭЙЛБИ, ФП ОБКДЈФУС СЭЙЛ, Ч ЛПФПТПН УЙДЙФ, РП ЛТБКОЕК НЕТЕ, ( n + 1) ЛТПМЙЛПЧ».

    йНЕЕФУС 25 ЛПОЖЕФ 3 УПТФПЧ. чЕТОП МЙ, ЮФП ОЕ НЕОЕЕ 9 ЙЪ ОЙИ ВХДХФ ЛБЛПЗП-ФП ПДОПЗП УПТФБ?

    тЕЫЕОЙЕ: рХУФШ «ЛМЕФЛБНЙ» Х ОБУ ВХДХФ УПТФБ ЛПОЖЕФ, Б «ЛТПМЙЛБНЙ» -УБНЙ ЛПОЖЕФЩ. рП РТЙОГЙРХ дЙТЙИМЕ ОБКДЕФУС «ЛМЕФЛБ», Ч ЛПФПТПК ОЕ НЕОЕЕ 25 / 3 «ЛТПМЙЛПЧ». фБЛ ЛБЛ 8

    ч ЛМБУУЕ 30 ЮЕМПЧЕЛ. рБЫБ УДЕМБМ 13 ПЫЙВПЛ, Б ПУФБМШОЩЕ НЕОШЫЕ. дПЛБЪБФШ, ЮФП ЛБЛЙЕ-ФП ФТЙ ХЮЕОЙЛБ УДЕМБМЙ ПДЙОБЛПЧПЕ ЛПМЙЮЕУФЧП ПЫЙВПЛ.

    тЕЫЕОЙЕ: рП ХУМПЧЙА ЪБДБЮЙ, ОБЙВПМШЫЕЕ ЮЙУМП ПЫЙВПЛ, УДЕМБООЩИ Ч ТБВПФЕ 13. ъОБЮЙФ, ХЮЕОЙЛЙ НПЗМЙ УДЕМБФШ 0, 1, 2, . 13 ПЫЙВПЛ. ьФЙ ЧБТЙБОФЩ ВХДХФ «ЛМЕФЛБНЙ», Б ХЮЕОЙЛЙ УФБОХФ «ЛТПМЙЛБНЙ». фПЗДБ РП (ПВПВЭЕООПНХ) РТЙОГЙРХ дЙТЙИМЕ (14 ЛМЕФПЛ Й 30 ЪБКГЕЧ) ОБКДХФУС ФТЙ ХЮЕОЙЛБ, РПРБЧЫЙИ Ч ПДОХ «ЛМЕФЛХ», ФП ЕУФШ УДЕМБЧЫЙИ ПДЙОБЛПЧПЕ ЮЙУМП ПЫЙВПЛ.

    ч ЛЧБДТБФОПН ЛПЧТЕ УП УФПТПОПК 1 Н НПМШ РТПЕМБ 51 ДЩТЛХ (ДЩТЛБ — ФПЮЛБ). дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ОЕЛПФПТПК ЛЧБДТБФОПК ЪБРМБФЛПК УП УФПТПОПК 20 УН НПЦОП ЪБЛТЩФШ ОЕ НЕОЕЕ ФТЈИ ДЩТПЛ.

    тЕЫЕОЙЕ: чЕУШ ЛПЧЕТ НПЦОП ОБЛТЩФШ ФБЛЙНЙ 25-А ЪБРМБФБНЙ. рП РТЙОГЙРХ дЙТЙИМЕ ЛБЛБС-ФП ЙЪ ЬФЙИ ЪБРМБФ ОБЛТПЕФ ОЕ НЕОЕЕ ФТЕИ ДЩТПЛ.

    йОПЗДБ РТЙОГЙР дЙТЙИМЕ ОЕ ТБВПФБЕФ «ЧРТСНХА», ЮФП ФТЕВХЕФ ДПРПМОЙФЕМШОЩИ УППВТБЦЕОЙК.

    оЕУЛПМШЛП ЖХФВПМШОЩИ ЛПНБОД РТПЧПДСФ ФХТОЙТ Ч ПДЙО ЛТХЗ. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП Ч МАВПК НПНЕОФ ФХТОЙТБ ОБКДХФУС ДЧЕ ЛПНБОДЩ, УЩЗТБЧЫЙЕ Л ЬФПНХ НПНЕОФХ ПДЙОБЛПЧПЕ ЮЙУМП НБФЮЕК.

    тЕЫЕОЙЕ: рХУФШ ЧУЕЗП n ЫБИНБФЙУФПЧ. фПЗДБ ЛБЦДЩК НПЗ УЩЗТБФШ ПФ 0 ДП n — 1 РБТФЙК: ЧУЕЗП n ЧБТЙБОФПЧ. лБЪБМПУШ ВЩ, ЮФП РТЙОГЙР дЙТЙИМЕ ОЕ ТБВПФБЕФ: Х ОБУ ЙНЕЕФУС n ТБЪМЙЮОЩИ ЫБИНБФЙУФПЧ Й n ТБЪМЙЮОЩИ ЛПМЙЮЕУФЧ УЩЗТБООЩИ РБТФЙК.

    ъБНЕФЙН, ПДОБЛП, ЮФП ЕУМЙ ЛБЛПК-ФП ЫБИНБФЙУФ ОЕ УЩЗТБМ ОЙ ПДОПК РБТФЙЙ, ФП ОЕ ОБКДЕФУС ЫБИНБФЙУФБ, УЩЗТБЧЫЕЗП ЧУЕ РБТФЙЙ. фП ЕУФШ ОЕ НПЦЕФ ВЩФШ УЙФХБГЙЙ, ЛПЗДБ ЕУФШ ЙЗТПЛ, УЩЗТБЧЫЙК 0 РБТФЙК, Й ЙЗТПЛ, УЩЗТБЧЫЙК n — 1 РБТФЙА. ъОБЮЙФ, ТБЪМЙЮОЩИ ЛПМЙЮЕУФЧ УЩЗТБООЩИ РБТФЙК Ч МАВПК НПНЕОФ ФХТОЙТБ НПЦЕФ ВЩФШ ОЕ ВПМЕЕ n — 1 (ПФ 0 ДП n — 2 ЙМЙ ПФ 1 ДП n — 1). рП РТЙОГЙРХ дЙТЙИМЕ Ч МАВПК НПНЕОФ ФХТОЙТБ ОБКДЕФУС ДЧБ ЙЗТПЛБ, УЩЗТБЧЫЙИ ПДЙОБЛПЧПЕ ЛПМЙЮЕУФЧП РБТФЙК.

    рТЙ ТБЪВПТЕ ЪБДБЮ ОБ РТЙОГЙР дЙТЙИМЕ ОБ ХТПЛЕ ЙМЙ ОБ ЪБОСФЙЙ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЗП ЛТХЦЛБ ТЕЛПНЕОДХЕФУС Ч ЛБЦДПН УМХЮБЕ РТПУЙФШ ХЮЕОЙЛПЧ ХЛБЪЩЧБФШ, ЛФП Ч ДБООПК ЪБДБЮЕ СЧМСЮЕФУС «ЛТПМЙЛПН», Й ЮФП УМХЦЙФ «ЛМЕФЛПК».

    рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

    Одна из главных задач педагога, обучающего детей с нарушениями зрения, является необходимость найти и применить все возможные педагогические методы и приёмы для оказания психолого-педагогической помощи. Такой помощью является организация педагогических коррекционных занятий, на которых можно детей увлечь математикой, решая различные занимательные задачи, в том числе, решая задачи на «Принцип Дирихле».

    Скачать:

    Вложение Размер
    tema_samoobrazovaniya_printsip_dirihle.docx 109.1 КБ

    Предварительный просмотр:

    В работе в школе для детей с нарушением зрения педагоги постоянно сталкиваются со снижением у них познавательной активности, которая часто негативно сказывается на отношении к обучению.

    В основе пассивности или отсутствия интереса к обучению у детей с нарушениями зрения лежат различные причины, в первую очередь, особенности психологического развития детей, имеющих патологию зрения:

    1) несформированность компенсаторных психологических процессов,

    2) снижение адаптации ребёнка к окружающей среде.

    Снижение работоспособности и умственной активности у детей с нарушениями зрения не влияет на их природные способности к обучению, и даже одарённость по какому – либо учебному предмету.

    Поэтому одной из главных задач педагога, обучающего детей с нарушениями зрения, является необходимость найти и применить все возможные педагогические методы и приёмы для оказания психолого – педагогической помощи детям с нарушением зрения.

    Такой помощью может явиться организация педагогических коррекционных занятий , на которых можно уделить внимание решению различных занимательных задач. С их помощью педагог может:

    постараться увлечь детей математикой;

    дополнить обязательную учебную работу;

    способствовать более глубокому усвоению учащимися материала, предусмотренного программой.

    Многие учащиеся, имеющие нарушения зрения, считают математику скучным, сухим предметом. На коррекционных занятиях можно постараться повысить интерес детей к математике. Наряду с учащимися, индифферентным к урокам математики, в любом классе имеются и другие дети, увлекающиеся этим предметом. Поэтому с помощью коррекционных занятий у таких детей можно закрепить и развить интерес к математике.

    Внеклассная работа приносит большую пользу и самому учителю. Есть старая латинская пословица: «Уча других, мы учимся сами». Поэтому учителю для подготовки к внеклассным занятиям приходится работать с дополнительным методическим материалом и литературой. Таким образом, педагог имеет возможность освежить, расширить и углубить свои методические познания, в результате чего он повышает качество своей педагогической работы.

    Тема моей методической работы в 2012 – 2013 учебном году решение математических задач при помощи «принципа Дирихле».

    Петер Густав Лежен Дирихле (1805-1859) – известный немецкий математик, в честь которого назван этот принцип. Он применял этот принцип по отношению к доказательству арифметических утверждений.

    Применяя на дополнительных занятиях решение задач с помощью принципа Дирихле, педагог ставит перед собой следующие цели:

    обучение детей общим приёмам решения задач;

    развитие навыка и умения логического мышления и правильного построения своих умозаключений;

    обучение творческому отношению к решению задачи.

    1. ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ

    1.1. ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА ДИРИХЛЕ

    Принцип Дирихле утверждает, что если множество из элементов разбить на не пересекающихся частей, не имеющих общих элементов, где > то, по крайней мере, в одной части будет более одного элемента [1].

    Принцип Дирихле помогает при решении многих логических и комбинаторных задач. Обычно его формулируют так: «если в клетках сидит + 1 или больше кроликов, то найдётся клетка, в которой сидят, по крайней мере, два кролика».

    Термины «кролики» и «клетки» являются общепринятыми в математике. Действительно, если бы в каждой клетке сидели не более одного кролика, то тогда кроликов было бы не больше, чем клеток. Поэтому есть клетка, где кроликов не менее двух.

    Неверно говорить, что есть лишь одна клетка, в которой сидят два кролика – таких клеток может быть и несколько, ведь какие-то клетки могут быть пустыми. Неважно, в какой именно клетке находятся, по крайней мере, два кролика.

    Также не имеет значения, сколько «кроликов» в этой «клетке», и сколько всего таких «клеток». Важно то, что существует хотя бы одна «клетка» с не менее чем двумя «кроликами» (два или более).

    В самой простой и несерьёзной форме принцип Дирихле выглядит так: «Нельзя посадить семь кроликов в три клетки, чтобы в каждой из их было не больше двух кроликов» [7].

    Если мы хотим применить принцип Дирихле при решении конкретной задачи, то нам необходимо выяснить, что в ней есть– «клетки», а что – «кролики».

    Бывает нелегко понять, что здесь «кролики» и «клетки» и почему кроликов больше, чем клеток.

    Выбор «кроликов» и «клеток» часто неочевиден, и далеко не всегда по виду задачи можно определить, что следует воспользоваться именно принципом Дирихле.

    В роли «кроликов» могут выступать различные предметы и математические объекты – числа, отрезки и т.д.

    1.2. ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ

    Задача 1. В непрозрачном мешке лежат шары двух разных цветов – белые и чёрные. Какое наименьшее количество шаров надо вытащить, не заглядывая в мешок, чтобы среди них наверняка было два шара одного цвета?

    Решение. Три шара.

    Применение принципа Дирихле: «кроликами» будут взятые шары, а «клетками» – чёрный и белый цвета. Из условия задачи известно, что «клеток» всего две, поэтому, если «кроликов» хотя бы три, то какие-то два из них попадут в одну «клетку», то есть будут два одноцветных шара. С другой стороны, взять всего два шара мало, потому что они могут быть двух разных цветов.

    Задача 2. В непрозрачном мешке лежат 10 белых и 5 чёрных шаров. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из мешка не глядя, чтобы среди них было два шара а) белых; б) разных цветов? [2]

    Решение. а) 7 шаров. Может случиться так, что вначале мы вытянем 5 чёрных шаров, и лишь затем – два белых;

    б) 11 шаров. Вначале можно вытащить шары только одного цвета, а наибольшее количество таких шаров 10 белых, и только потом – один шар другого цвета.

    Задача 3. В классе 30 человек. В диктанте Саша Иванов сделал 13 ошибок, а остальные – меньше. Докажите, что по крайней мере три ученика сделали ошибок поровну (может быть, по 0 ошибок). [12]

    Решение. Здесь «кролики» – ученики, «клетки» – число сделанных ошибок.

    В «клетку» 0 посадим всех, кто не сделал ни одной ошибки,

    в «клетку» 1 – тех, у кого одна ошибка,

    в «клетку» 2 – две, …

    и так до «клетки» 13, куда попал один Саша Иванов.

    Теперь применим принцип Дирихле. Докажем утверждение задачи от противного. Предположим никакие три ученика не сделали по одинаковому числу ошибок, то есть в каждую «клеток» 0, 1, …. 12 попало меньше трёх школьников.

    Тогда в каждой из них два человека или меньше, а всего в этих 13 «клетках» не больше 26 человек.

    Добавив Сашу Иванова, не наберём 30 ребят. Получаем противоречие.

    А, можно ли утверждать, что ровно трое сделали поровну ошибок? Нет, конечно. Возможно, все ребята, кроме Саши, написали диктант без единой ошибки, то есть все сделали по 0 ошибок. Получаем ответ, что, по крайней мере, три ученика сделали ошибок поровну.

    Задача 4. Докажите, что в Вашем классе найдутся два человека, у которых одинаковое количество друзей среди одноклассников. [6]

    Решение . Пусть в классе учится человек, тогда у каждого из одноклассников число друзей равно любому числу от (когда человек не дружит ни с кем) до (дружит со всеми), причём эти две «крайности» не могут быть реализованы одновременно. Получаем учеников , а количество возможностей . Применяем принцип Дирихле: «кроликами» будут одноклассники, «клетками» – количество возможностей. Поэтому, у двух учеников класса количество друзей одинаково.

    Задача 5. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трёх сортов, причём в каждом ящике лежали яблоки одного сорта. Найдутся ли 9 ящиков одного сорта? [7]

    Решение . Возьмём ящики в качестве «кроликов», сорта яблок в качестве «клеток». Таким образом, имеем 25 «кроликов» и 3 «клетки». Получаем: в каждой «клетке» сидит не более 8 «кроликов». Тогда во всех «клетках» сидит не более 24 «кроликов», а «кроликов» — на 1 больше. Следовательно, в одной «клетке» может быть 9 «кроликов». Ответ: имеется 9 ящиков одного сорта.

    Задача 6. В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день года. [4]

    Решение. Максимальное количество дней в году бывает 366. Назовём дни «клетками», учеников – «кроликами». Тогда в каждой клетке сидит не меньше

    кроликов, т.е. больше одного. Следовательно, не меньше двух.

    Можно рассуждать от противного. Допустим, что каждый день отмечают день рождения не больше 366 человек, а всего 400, следовательно, пришли к противоречию.

    Задача 7 . В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году. В котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса? [7]

    Решение . Пусть «клетками» будут месяцы, а «кроликами» – ученики.

    Распределяем «кроликов» по «клеткам», в зависимости от месяца рождения.

    Так как число месяцев, то есть «клеток», равно 12, а число учеников, то есть «кроликов» .

    Согласно принципу Дирихле существует «клетка» (месяц) по крайней мере «кроликами» (учениками).

    Задача 8. Доказать, что из 101 числа можно выбрать два, разность которых делится на 100. [11]

    Решение. При делении на 100 получается один из 100 остатков: 0, 1, 2, …,99. Нам дано 101 число. По принципу Дирихле остатки от деления на 100 у каких-то двух из них совпадают. Следовательно, их разность делится на 100.

    Задача 9. Можно ли увезти из каменоломни пятьдесят камней, веса которых равны 370кг, 372кг, …, 468кг, на семи трёхтонках? [6]

    Решение. В соответствие с принципом Дирихле примем машины за «клетки», камни – за «кроликов».

    Получаем 7 «клеток» и 50 «кроликов», следовательно, на одной из машин будет 8 камней. Но поскольку вес любых 8 камней больше трёх тонн, увезти этот груз нельзя.

    Задача 10. Задумано трёхзначное число, у которого с любым из чисел 543, 142 и 562 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумано? [6]

    Решение. Если первая цифра искомого числа 5, то либо вторая цифра 4, либо третья цифра 2 (так как требуется совпадение разряда со вторым числом). Но это приводит к противоречию, так как совпадение либо с первым, либо с третьим будет в двух разрядах, следовательно, первая цифра – не 5.

    Рассуждая аналогично, вторая цифра искомого числа не может быть четвёркой, а третья – двойкой. Остаётся единственная возможность – искомое число равно 163.

    Задача 11 . В лесу растёт 710 000 ёлочек. На каждой ёлочке не больше 100 000 иголочек. Докажите, что в лесу есть по крайней мере 8 ёлочек с одинаковым числом иголочек.[11]

    Решение. Всего на ёлочке может быть от 1 до 100 000 иголочек – имеем 100 000 возможностей.

    в этом лесу не существует 8 елей с одинаковым числом иголок. Тогда существует не более 7 ёлочек, имеющих по одной иголке, и не более 7 ёлочек, имеющих по две иголки, …, не более 7 ёлочек, имеющих по 100 000 иголочек.

    Но тогда всего ёлочек , что меньше 710 000 ёлочек – противоречие.

    Следовательно, имеются, по крайней мере, 8 ёлочек с одинаковым числом иголочек.

    Задача 12. Будем считать, что знакомство – «симметричное» отношение между людьми: если Комаров знаком с Жуковым, то и Жуков знаком с Комаровым. Выберем любым способом 5 человек. Докажите, что по крайней мере двое из них имеют одинаковое число знакомых среди выбранных людей. [12]

    Решение. Построим 5 «клеток» 0, 1, 2, 3, 4.

    Пусть номер «клетки» равняется числу знакомых у «содержащихся» в ней людей. Возможны два случая: есть человек, никому из остальных не знакомый, или же такого человека нет.

    В первом случае в «клетке» 4 никого нет (иначе сидящие в 4 и в 0 «клетках» были бы знакомы между собой).

    Тогда 5 человек размещены по 4 «клеткам».

    Во втором случае они тоже так рассажены (так как «клетка» 0 пуста).

    В соответствие с принципом Дирихле по крайней мере двое находятся в одной «клетке».

    Задача 13 . На планете Земля океан занимает больше половины площади поверхности. Докажите, что в мировом океане можно указать две диаметрально противоположные точки. [6]

    Решение. Предположим, что каждой точке мирового океана соответствует диаметрально противоположная точка суши, тогда мировой океан и суша центрально симметричны, а площади их равны, что противоречит условию задачи. Следовательно, в мировом океане можно указать две диаметрально противоположные точки.

    Задача 14 . Десять человек сидят за круглым столом, причём шестеро из них мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят напротив друг друга. [9]

    Решение. Будем считать «кроликами» мужчин, а «клетками» – пары диаметрально противоположных мест за столом.

    Тогда «клеток» ровно половина от числа мест за столом, то есть 5, а «кроликов» – 6 (строго больше).

    Тогда есть «клетка», в которой сидит не менее двух «кроликов», то есть пара противоположных мест, за которыми сидят два мужчины, то есть они сидят напротив друг друга. Они и есть искомые.

    Задача 15. В ковре размером 3?3 метра Коля проделал 8 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1?1 метр, не содержащий внутри себя дырок. (Дырки можно считать точечными.) [13]

    Решение . Здесь дырки будут «кроликами». Разрежем ковёр на 9 ковриков размерами 1?1 метр. Здесь коврики будут «клетками». Получаем 9 «клеток» и 8 «кроликов».

    Если в клетках сидят не более кроликов, то это значит, что есть пустая клетка. Если пустой клетки нет, то в каждой клетке сидит хотя бы 1 кролик. Тогда кроликов не меньше, чем клеток. Следовательно, пустая клетка имеется.

    Поскольку 9>8, то найдётся хотя бы одна «клетка», в которой не будет «кролика», то есть найдётся коврик без дырок внутри.

    Задача 16. 30 студентов из пяти курсов придумали 40 задач для олимпиады, причём однокурсники – одинаковое число задач, а студенты разных курсов – разное. Сколько студентов придумали по одной задаче? Условие: соавторства не было. Каждый студент придумал хотя бы одну задачу. [9]

    Решение . Выберем 5 студентов, по одному с каждого курса. Все они придумали разное число задач. Поэтому число предложенных ими задач не меньше 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Остальные 25 студентов придумали не более задач. Следовательно, каждый из них придумал по одной задаче, и, следовательно, 26 человек придумали по одной задаче.

    Задача 17. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки на расстоянии 1 метр друг от друга, окрашенные в одинаковый цвет. [3]

    Решение. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной в 1 метр. Вершины треугольника будут «кроликами», а цвета – «клетками». Так как число «кроликов» больше числа «клеток», следует, что существуют две вершины одного цвета. Поскольку треугольник – равносторонний, расстояние между вершинами составляет 1 метр.

    Эту задачу можно решить другим методом – от противного. Пусть « А» – одна из точек плоскости, и предположим, что все точки плоскости, расположенные на расстоянии 1 метр от « А» , окрашены в цвет, отличный от цвета точки « А» . Тогда получаем окружность радиуса в 1 метр из точек одинакового цвета. Очевидно, что в этой окружности существует хорда длиной 1 метр. Следовательно, концами хорды будут точки одного цвета, расположенные на расстоянии 1 метр.

    Задача 18 . В квадрате со стороной 1 метр находится 20 точек. Найдутся ли 3 из них, которые можно накрыть квадратом со стороной метра? [14]

    Решение. Разобьём квадрат на квадратики размером ? , получим 9 квадратиков со стороной метра. Примем квадратики за «клетки», а точки за «кроликов» Получим 9 «клеток» и 20 «кроликов». По принципу Дирихле, по крайней мере, в одной клетке находится не менее 3 кроликов. Следовательно, можно накрыть три точки квадратом со стороной метра.

    Задача 19. В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть кругом радиуса метра. [12]

    Решение . Разобьём квадрат на 25 равных квадратиков со стороной метра. Считаем точки «кроликами». Применим принцип Дирихле: имеем 51 «кролик» и 25 «клеток». В одну из «клеток» попадёт не менее трёх «кроликов», то есть в один из квадратиков попадёт не менее трёх точек.

    Опишем окружность вокруг квадратика со стороной метра, в котором лежат три (или больше) из данных точек. Окружность имеет радиус ; метра. Радиус меньше метра, поэтому этот квадратик можно накрыть кругом метра.

    Задача 20 . Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками. [9]

    Решение . Меньший равносторонний треугольник, как его не клади, не сможет покрыть 2 вершины большего. В качестве «клеток» возьмём вершины, а качестве «кроликов» — маленькие треугольники. В результате мы получим, что «кроликов» меньше, чем «клеток». Поэтому очевидно, что имеется пустая клетка. Это означает, что одну из вершин большого треугольника мы никогда не накроем, а поэтому и не накроем его целиком.

    Задача 21 . Внутри равностороннего треугольника со стороной равной 1см расположено 5 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5см. [13]

    Примем 5 точек за «кроликов». Тогда «клеток» должно быть меньше. По условию задачи есть два числа: 1 и 0,5, причём второе число меньше первого в 2 раза. Поэтому разбиваем равносторонний треугольник на четыре правильных треугольника со стороной 0,5 см, проведя средние линии, смотреть рис.1. Получаем 4 маленьких равносторонних треугольника, которые принимаем за «клетки».

    «Кроликов» больше, чем «клеток». По принципу Дирихле, из пяти точек хотя бы две окажутся в одном из четырёх маленьких треугольников. Расстояние между этими точками меньше 0,5см, так как эти точки не лежат в вершинах маленьких треугольников. Следовательно, расстояние между некоторыми двумя точками меньше 0,5см.

    Задача 22. Доказать, что если прямая l , расположенная в плоскости треугольника АВС , не проходит ни через одну из его вершин, то она не может пересечь все три стороны треугольника. [10]

    Полуплоскости, на которые прямая l разбивает плоскость треугольника АВС , обозначим через и , смотреть рисунок 2. Эти полуплоскости не содержат точек прямой l . Вершины рассматриваемого треугольника, точки А , В , С , будут «кроликами», а полуплоскости и – «клетками». Каждый «кролик» попадает в какую-нибудь «клетку» (прямая l не проходит ни через одну из точек А , В , С ). Здесь имеется три «кролика», а «клеток» имеется только две. В этом случае найдутся два «кролика», попавшие в одну «клетку». То есть, найдутся две вершины треугольника АВС , которые принадлежат одной полуплоскости.

    Пусть точки А и В находятся в одной полуплоскости, то есть лежат по одну сторону от прямой l . Тогда отрезок АВ не пересекается с l . Получим, что в треугольнике АВС нашлась сторона, которая не пересекается с прямой l .

    Задача 23 . В круг радиуса 3 произвольным образом помещены несколько кругов, сумма радиусов которых равна 25. Доказать, что найдётся прямая, которая пересекает не менее девяти из этих кругов. [10]

    Решение . Проецируем все круги на произвольный диаметр АВ большого круга, АВ = 6. Сумма длин проекций равна сумме диаметров кругов, то есть 50. Так как 50 > 8 АВ , то на отрезке АВ есть точка, принадлежащая этим проекциям по крайней мере девяти кругов. Прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная диаметру АВ , – искомая прямая.

    Задача 24. Шахматная доска разрезана на 13 прямоугольников с целым числом клеток. Могут ли они все быть различными? [14]

    Решение. Допустим, что все 13 прямоугольников попарно неравны. Минимальная их площадь (1?1, 1?2, …, 1?8, 2?2, 2?3, 2?4, 2?5, 3?3) равна 73. А площадь исходного квадрата 64. Так как 64

    Задача 25 . Какое наибольшее количество королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга? [9]

    Решение . Шахматная доска может быть разбита на 16 квадратиков 2?2. Если на доске более 16 королей, то, по принципу Дирихле, два из них попадут в такой квадрат, и будут бить друг друга. Поэтому наибольшее количество королей, которое можно расположить на доске — 16.

    Задача 26. По ещё не полученным данным, на голове у каждого жителя планеты Казанг VI вместо волос растут антенны в количестве не более 100 тысяч. По последней переписи, на планете проживает не менее 8 миллионов жителей. Доказать, что найдётся 80 обитателей Казанга VI с одинаковым числом антенн на голове. [8]

    Решение. Представим, что есть 100 001 клетка (в задаче инопланетяне, поэтому можно считать все клетки космолётами). На каждой из них напишем числа от 0 до 100 000 включительно. Затем рассаживаем инопланетян по клеткам в соответствии с ярлыками. Если у жителя на голове две антенны, то направим его в космолёт № 2, если 500 антенн, то в космолёт № 500 и т.д. Всех лысых, без единой антенны на голове, отправим в нулевую клетку. Теперь надо доказать, что хоть в одном из космолётов сидит не менее 80 жителей. Это действительно так. Так как, если бы в каждой клетке было меньше 80 жителей, то их общее количество не превосходило бы

    , что меньше восьми миллионов.

    Задача 27. Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5. [5]

    Решение. При делении на 5 могут быть остатки только: 0; 1; 2; 3 и 4, т.е. всего 5 остатков. По условию дано шесть чисел, поэтому среди них обязательно найдутся два числа с одинаковыми остатками. Рассмотрим разность двух чисел, у которых одинаковые остатки. Эта разность при делении на 5 будет давать остаток 0, т.е. будет делиться на 5.

    Задача 28. Можно ли разложить 44 шарика на 9 кучек, чтобы количество шариков в разных кучках было различным? [5]

    Решение. Имеется 9 кучек, в каждой из которых разное количество шариков. Тогда шариков должно быть не меньше , а по условию 44 шарика. Поэтому нельзя разложить 44 шарика на 9 кучек с разным количеством шариков в разных кучках.

    Задача 29. Обязательно ли среди двадцати пяти «медных» монет (монеты достоинством 1; 2; 3; 5 копеек) найдётся семь монет одинакового достоинства? [5]

    Решение. Да, обязательно. Если бы монет каждого из четырёх типов было не более 6, то всего монет было бы не более , а их 25.

    Задача 30. В классе учатся 38 человек. Докажите, что среди них найдутся четверо, родившихся в один месяц? [5]

    Решение. Если бы в каждом месяце родилось не более трёх учеников этого класса, то в классе не могло бы учиться больше, чем учеников, а по условию учеников 38, т.е. по условию учеников больше, чем 36.

    Принцип Дирихле применяется и в арифметике, и в алгебре, в комбинаторике, и в геометрии.

    На внеклассных коррекционных занятиях весь материал раскрывается через задачи. Перед учащимися последовательно одна за другой ставятся посильные задачи, решение которых даёт им новые сознательные знания.

    Обучение математике через задачи обеспечивает развитие самостоятельности и творческой активности учащихся. Способствует приобретению прочных и осознанных знаний, развивает умение сравнивать, обобщать, делать творческие выводы, стимулирует развитие интереса к математике.

    Внеклассная коррекционная работа позволяет поддерживать возникший интерес к дополнительным занятиям математикой и желание заниматься математическим самообучением.

    1. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика, 1989.

    2. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений / С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.:Просвещение, 2000.

    3. С.А.Дориченко, И.В.Ященко. LVII Московская математическая олимпиада: сборник подготовительных задач. М.: Детский клуб «Компьютер», ДО «Глаголь», 1994.

    4. А.Я.Канель-Белов, А.К.Ковальджи. Как решают нестандартные задачи. 60-я Московская математическая олимпиада. Подготовительный сборник. М.: МЦНМО, 1997.

    5. Е.Г.Козлова. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). М.: МЦНМО,, 2013.

    6. Ф.А.Пчелинцев, П.В.Чулков. Математика. 5 – 6 класс. Уроки математического мышления с решениями и ответами. М.: Издат – школа, 2000.

    7. А.В.Спивак. Математический праздник. М.: МЦНМО, 1995.

    8. В.А.Уфрановский. Математический аквариум. М.: МЦНМО, 2011.

    9. А.В.Спивак. Математический праздник. Часть III. – М.: Бюро Квантум,2001. – (Приложение к журналу «Квант» №4 / 2001).

    10. Принцип Дирихле / А.А.Андреев, Г.Н.Горелов, А.И.Люлев, А.И.Савин. – Самара: Пифагор, 1997.

    11. Ф.Бартенев. Наблюдения в математике. // «Квант» для младших школьников: Математика 6 – 8, 1998, №3.

    12. А.И.Орлов. «Клетки» и «зайцы». // Журнал «Квант», 1971, №7.

    13. А.В.Фарков. Математические кружки в школе. 5 – 8 классы. М.: Айрис – пресс, 2006.

    14. Ю.Ф.Фоминых. Принцип Дирихле. // Журнал «Математика в школе», 1996, №3.

    1.1. Формулировка принципа Дирихле…………. …………. 4

    Дмитрий Уренцов

    При решении математических задач нередко используется метод формулировки дополнительных утверждений, которые сами по себе не являются сложными, однако позволяют решать довольно сложные задачи, тем самым существенно сокращая объем получаемых решений. Так, принцип Дирихле, являясь простым и невероятно универсальным инструментом, используется при доказательстве как несложных, так и совершенно неочевидных фактов.

    Прежде чем сформулировать основное утверждение статьи, предлагаем читателю решить следующую задачку.

    Задача 1. Обязательно ли среди двадцати пяти «медных» монет (т.е. монет достоинством 1, 2, 3, 5 коп.) найдётся семь монет одинакового достоинства?

    Решение 1. Мы хотим распределить 25 монет на 4 группы монет одинакового достоинства так, чтобы в каждой группе было не более 6 монет. Тогда суммарно в 4 группах не более 24 монет, однако двадцать пятая монета должна присоединиться к одной из групп, где монет станет более шести. Решение окончено.

    Взяв за основу идею решения этой задачи, приведем утверждение, называемое принципом Дирихле и часто формулируемое в следующем виде:

    Принцип Дирихле. Принцип Дирихле. Пусть имеется $#119899; клеток, в которых сидят $#119896;>$#119899; кроликов. Тогда найдется клетка, в которой сидят хотя бы два кролика.

    Решим теперь задачу 1, используя принцип Дирихле.

    Решение 2. Кроликами в данной задаче будем считать монеты, а клетками, в которые мы их рассаживаем, – группы монет одинакового достоинства. Тогда условие принимает вид: имеется 4 клетки и 25 кроликов, и спрашивается, обязательно ли найдется клетка, в которой сидит не менее семи кроликов. Эта задача эквивалентна задаче о том, найдется ли при 4 клетках и 21 кролике клетка с хотя бы 6 кроликами. Это, в свою очередь, то же, что и задача о том, найдется ли при 4 клетках и 17 кроликах клетка с хотя бы пятью из них. Так, последовательно уменьшая число кроликов на четыре (то есть рассаживая в каждую клетку по кролику на каждом этапе), приходим к вопросу о том, найдется ли клетка с хотя бы двумя кроликами при четырех клетках и пяти кроликах. На подобный вопрос мы уже умеем отвечать утвердительно, ссылаясь напрямую на принцип Дирихле. Решение окончено.

    Прежде чем переходить к более сложным конструкциям, предлагаем читателю убедиться в умении решать следующие задачи.

    Задача 1.1. В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок.

    Задача 1.2. В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?

    Задача 1.3. Можно ли разложить 44 шарика на 9 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным?

    Несмотря на кажущуюся простоту, принцип Дирихле может быть использован при решении весьма непростых задач ввиду того, что не всегда при решении удается сразу распознать, какие объекты следует использовать в качестве клеток, а какие – в качестве кроликов. Зачастую также перед или после применения принципа оказывается необходимым провести дополнительные рассуждения.

    Рекомендуем читателю перед прочтением решений предлагаемых далее задач стремиться прийти к требуемым утверждениям самостоятельно.

    Задача 2. В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тезок и сколько однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые от 0 до 10 включительно. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми именем и фамилией.

    Решение. Объединим учеников в группы по фамилиям и в группы по именам (возможны группы, состоящие из одного человека, – например, ученик без однофамильцев). Каждый войдет в две группы – по фамилии и по имени. Из условия задачи следует, что в классе ровно одиннадцать групп. Действительно, есть группы, состоящие из 1, 2, 11 человек, поэтому групп не меньше одиннадцати, но 1+2+. +11=66=2•33. То есть мы уже сосчитали каждого ученика дважды, значит, больше групп нет.

    Рассмотрим группу из одиннадцати человек (скажем, однофамильцев). Остальных групп, и, в частности, групп тезок, не более десяти. Поэтому какие-то двое учеников из одиннадцати входят в одну группу тезок, т.е. у них одинаковы и имя, и фамилия. Доказательство завершено.

    Заметим, что зачастую на принцип Дирихле не ссылаются в явном виде – и тем не менее всегда видно, в какой момент и как именно он был использован.

    Задача 3. В группе 101 разведчик. Все вместе они в вылазках ни разу не участвовали, а каждые двое встречались в вылазках ровно по разу. Докажите, что один из разведчиков участвовал не менее чем в 11 различных вылазках.

    Решение. Пусть есть разведчик A, участвовавший не более чем в 10 вылазках. Остальных разведчиков ровно 100, поэтому хотя бы в одной из этих вылазок (обозначим её Z) участвовало не меньше 10 разведчиков (не считая A). Рассмотрим разведчика B, не участвовавшего в Z. Он участвовал в вылазках со всеми 11 разведчиками вылазки Z, причём все эти вылазки различны. Доказательство завершено.

    Задача 4. В каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна а, в каждом столбце таблицы сумма двух наибольших чисел равна b. Докажите, что a = b.

    Решение. Пусть в таблице n строк. Возьмём в каждой строке по два наибольших числа и выпишем эти 2n чисел в порядке возрастания. Вследствие равенства сумм в пары входят первое и последнее, второе и предпоследнее и т.д. Отметим в таблице n + 1 наибольших из выписанных чисел. По принципу Дирихле найдутся два отмеченных числа в одном столбце; их сумму обозначим через s . По условию $#119904;?$#119887;. С другой стороны, $#119904; не меньше суммы двух наименьших из отмеченных чисел, а это как раз центральная пара из выписанных чисел, и ее сумма равна $#119886;. Значит, $#119886;?$#119904;?$#119887;. Аналогично доказывается, что $#119887;?$#119886;. Доказательство завершено.

    Предлагаем читателю следующие задачи для самостоятельного решения.

    Задача 4.1. Можно ли таблицу заполнить числами так, чтобы суммы во всех строках, во всех столбцах и на главных диагоналях были различны?

    Задача 4.2. Внутри выпуклого пятиугольника выбраны две точки. Докажите, что можно выбрать четырёхугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что внутрь него попадут обе выбранные точки.

    Задача 4.3. В ящике лежат 111 шариков красного, синего, зелёного и белого цвета. Известно, что если, не заглядывая в ящик, вытащить 100 шариков, то среди них обязательно найдутся четыре шарика различных цветов. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись три шарика различных цветов?

    Иногда принцип Дирихле помогает при решении задач, на первый взгляд кажущихся геометрическими и не имеющими к нему отношения. Человек, не знакомый с некоторыми идеями применения принципа, может пойти по гораздо более сложному пути поиска геометрического решения. Идея, используемая при решении следующей задачи, например, является достаточно распространенной.

    Задача 5. Моль проела в ковре размерами метр на метр 51 точечную дырку. Всегда ли найдутся три дырки, которые можно покрыть заплаткой со стороной двадцать сантиметров? Считается, что заплатка покрывает дырку, если последняя лежит внутри заплатки или на ее границе.

    Решение. Покажем, что такая заплатка найдется всегда. Разобьем ковер на 25 квадратов со стороной двадцать сантиметров каждый. Каждая дырка лежит хотя бы в одном из этих квадратов. Тогда получается, что задача сводится к вопросу о том, найдется ли клетка с хотя бы тремя кроликами при 25 клетках и 51 кролике. Согласно принципу Дирихле – найдется. Решение окончено.

    Часто при решении задач удобно использовать утверждения, близкие к принципу Дирихле, но позволяющие работать с бесконечным числом кроликов и клеток. Все эти утверждения доказываются методом от противного, их доказательство мы предоставим читателю.

    Утверждение. Если на отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, сумма длин которых больше 1, то по крайней мере два из них имеют общую точку. Утверждение. Если на окружности радиуса 1 расположено несколько дуг, сумма длин которых больше 2?, то по крайней мере две из них имеют общую точку. Утверждение. Если внутри фигуры площадью 1 расположено несколько фигур, сумма площадей которых больше 1, то по крайней мере две из них имеют общую точку.

    Задача 6. Докажите, что в круге радиуса 10 нельзя поместить 400 точек так, чтобы расстояние между каждыми двумя было больше 1.

    Решение. Круг радиуса 10 имеет площадь 100$#120587; . Если расстояние между двумя точками равно 1, то круги радиуса 0,5 с центрами в этих точках касаются друг друга. Площадь 400 таких кругов радиуса 0,5 равна 400•$#120587;•0,52=100$#120587; . Если такие круги поместить вплотную друг к другу, то они займут площадь большую, чем 100$#120587;, так как между кругами будут зазоры. Отсюда ясно, что их нельзя поместить в круг радиуса 10. Тем более нельзя поместить 400 точек в этот круг так, чтобы расстояние между ними было больше, чем единица. Решение окончено.

    Предлагаем читателю, воспользовавшись некоторыми из описанных выше идей, попробовать свои силы в решении следующих задач.

    Задача 6.1. 10 журналов лежат на журнальном столе, полностью покрывая его. Докажите, что можно убрать пять из них так, что оставшиеся журналы будут покрывать не менее половины площади стола.

    Задача 6.2. В квадрате со стороной 1 расположено 100 фигур, суммарная площадь которых больше 99. Докажите, что в квадрате найдется точка, принадлежащая всем этим фигурам.

    Подсказка. Рассмотрите фигуры, дополняющие данные 100 фигур до квадрата.

    Задача 6.3. Каждый день Фрёкен Бок испекает квадратный торт размером 3?3. Карлсон немедленно вырезает себе из него четыре квадратных куска размером 1?1 со сторонами, параллельными сторонам торта (не обязательно по линиям сетки 3?3). После этого Малыш вырезает себе из оставшейся части торта квадратный кусок со сторонами, также параллельными сторонам торта. На какой наибольший кусок торта может рассчитывать Малыш вне зависимости от действий Карлсона?

    Разделы: Математика

    Образовательная цель: познакомить учащихся с новыми математическим методом решения задач, которые не рассматриваются в школьном курсе, научить решать задачи с помощью принципа Дирихле; показать его применение для решения разнообразных задач.

    Развивающая цель: развитие у учащихся познавательного интереса, логического мышления; внимания, наблюдательности, накопление определенного запаса математических фактов и сведений, умений и навыков, дополняющих и углубляющих знания, приобретаемые в основном курсе математики.

    Воспитательная цель: воспитывать устойчивый интерес к предмету.

    План урока.

  • Организационный момент.
  • Актуализация знаний.
  • Изучение нового материала (презентация).
  • Первичное закрепление знаний.
  • Итоги.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер.

Формулировка темы и целей урока.

Изучение нового материала (презентация).

Учитель: При решении различных математических задач применяется специальный метод, получивший название: принцип Дирихле.

Дирихле родился в вестфальском городе Дюрене в семье почтмейстера. В 12 лет Дирихле начал учиться в гимназии в Бонне, спустя два года в иезуитской гимназии в Кёльне, где в числе прочих преподавателей его учил Георг Ом. С 1822 по 1827 г. жил в качестве домашнего учителя в Париже, где вращался в кругу Фурье. — В 1827г. устраивается на должность приватдоцента университета Бреслау (Вроцлав). В 1829 г. он перебирается в Берлин, где проработал непрерывно 26 лет, сначала как доцент. Затем с 1831 г. Как экстраординарный профессор. С 1839 г. как ординарный профессор Берлинского университета. В 1855 г. Дирихле становится качестве преемника Гаусса профессором высшей математики в Гёттингенском университете

Основные заслуги П. Дирихле в области математики:

— установил, что в арифметической прогрессии аn = а1 + dn, где n = 1,2 . с целыми взаимно простыми а1 и d содержится бесконечно много простых чисел;

— исследовал понятие условной сходимости ряда, установил признак сходимости ряда;

— ввёл функциональные ряды особого вида;

— ввёл (вместе с Н. И. Лобачевским) определение функции через соответствие и т.д.

В комбинаторике принцип Дирихлем (нем. Schubfachprinzip, “принцип ящиков”) — утверждение, сформулированное немецким математиком Дирихле в 1834 году, устанавливающее связь между объектами (“кроликами”) и контейнерами (“клетками”) при выполнении определённых условий. В английском и некоторых других языках утверждение известно как “принцип голубей и ящиков” (англ. Pigeonhole principle), когда объектами являются голуби, а контейнерами — ящики.

Наиболее распространена следующая формулировка этого принципа:

  • Если кролики рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика.
  • Более общая формулировка звучит так:

    • Если m кроликов рассажены в n клеток, то хотя бы в одной клетке находится не менее кроликов, а также хотя бы в одной клетке находится не более кроликов.

    Возможны также несколько формулировок для частных случаев:

  • Если число клеток больше, чем число кроликов, то, как минимум одна клетка пуста.
  • Пусть задана функция f : A B на конечных множествах A и B, причём | A | >n | B | , где . Тогда некоторое своё значение функция f примет по крайней мере n+1 раз.
  • Первичное закрепление знаний

    Рассмотрим примеры различных задач, решаемых с помощью принципа Дирихле.

    Задача 1. В классе 15 учеников. Докажите, что найдутся как минимум 2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц.

    Пусть 15 учеников будут “зайцы”. Тогда “клетками” будут месяцы года, их 12. Так как 15 > 12, то, по принципу Дирихле, найдется, как минимум, одна клетка, в которой будет сидеть, по крайней мере, 2 “зайца”. То есть, найдется месяц, в котором будут отмечать дни рождения не менее 2 учеников класса.

    Задача 2. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 см расположено 5 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5 см.

    Это наиболее трудная задача на принцип Дирихле . Но на примере ее решения очень хорошо видны все достоинства принципа Дирихле. Итак, при решении сначала надо выбрать что-то за “зайцев”. Так как в условии задачи фигурирует число “5”, то пусть 5 точек будут “зайцами”. Так как “клеток” должно быть меньше, и чаще всего на 1, то их должно быть 4. Как получить эти 4 “клетки”? Так как в условии задачи есть еще 2 числа; 1 и 0,5; причем второе меньше первого в 2 раза, то можно получить 4 “клетки”, разбив равносторонний треугольник с помощью проведения отрезков, соединяющих середины сторон. Тогда получим 4 равносторонних треугольника со сторонами по 0,5 см, которые и будут у нас “клетками”. Так как “зайцев” — 5, “клеток” — 4 и 5>4,то, по принципу Дирихле, найдется “клетка” — равносторонний треугольник со стороной 0,5 см, в который попадут не менее двух “зайцев” — точек. Так как 4 треугольника равны и расстояние между точками в любом треугольнике меньше, чем 0,5 см. т.е. некоторыми двумя точками из пяти расстояние будет меньше, чем 0,5.

    Задача 3. Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать 2, разность которых делится на 11.

    Примем числа за “зайцев”. Так как их 12, то “клеток” должно быть меньше. Пусть “клетки” —это остатки от деления целого числа на 11. Всего “клеток” будет 11: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10. Тогда, по принципу Дирихле, найдется “клетка”, в которой будут сидеть не менее чем 2 “зайца”, то есть найдутся 2 целых числа с одним остатком. А разность двух чисел с одинаковым остатком от деления на 11, будет делиться на 11.

    Применение принципа Дирихле